与えられた2つの式 $(a-b)^5$ と $(x+2)^6$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた2つの式 $(a-b)^5$ と $(x+2)^6$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開する。二項定理は以下の通り。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

ここで、$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ は二項係数である。

(1) $(a-b)^5$ の展開

$n = 5, b \rightarrow -b$ として二項定理を用いる。

$(a-b)^5 = \binom{5}{0} a^5 (-b)^0 + \binom{5}{1} a^4 (-b)^1 + \binom{5}{2} a^3 (-b)^2 + \binom{5}{3} a^2 (-b)^3 + \binom{5}{4} a^1 (-b)^4 + \binom{5}{5} a^0 (-b)^5$

二項係数を計算する。

$\binom{5}{0} = 1$

$\binom{5}{1} = 5$

$\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

$\binom{5}{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$

$\binom{5}{4} = 5$

$\binom{5}{5} = 1$

したがって、

$(a-b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$

(2) $(x+2)^6$ の展開

$n=6, a=x, b=2$として二項定理を用いる。

$(x+2)^6 = \sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} x^{6-k} 2^k$

$(x+2)^6 = \binom{6}{0} x^6 2^0 + \binom{6}{1} x^5 2^1 + \binom{6}{2} x^4 2^2 + \binom{6}{3} x^3 2^3 + \binom{6}{4} x^2 2^4 + \binom{6}{5} x^1 2^5 + \binom{6}{6} x^0 2^6$

二項係数を計算する。

$\binom{6}{0} = 1$

$\binom{6}{1} = 6$

$\binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

$\binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

$\binom{6}{4} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15$

$\binom{6}{5} = 6$

$\binom{6}{6} = 1$

したがって、

$(x+2)^6 = x^6 + 6x^5(2) + 15x^4(4) + 20x^3(8) + 15x^2(16) + 6x(32) + 64$

$(x+2)^6 = x^6 + 12x^5 + 60x^4 + 160x^3 + 240x^2 + 192x + 64$

3. 最終的な答え

(1) $(a-b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$

(2) $(x+2)^6 = x^6 + 12x^5 + 60x^4 + 160x^3 + 240x^2 + 192x + 64$