## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

(1) 全体集合を1から12までの自然数とする。部分集合A, Bについて、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{2, 5, 7, 9, 10, 12\}$, $\overline{A} \cap B = \{4, 8\}$, $A \cap \overline{B} = \{1, 3, 6\}$が成り立つとき、集合A, Bを要素を並べる方法で表せ。ここで$\overline{A}$, $\overline{B}$はそれぞれA, Bの補集合を表す。

(2) 全体集合を$U = \{x | x \text{は12以下の自然数}\}$とする。$U$の部分集合A, B, Cを$A = \{x | x \text{は10以下の奇数}\}$, $B = \{3x | x \text{は4以下の自然数}\}$, $C = \{x | x \text{は10以下の素数}\}$とするとき、次の集合を求めよ。

(ア) $A \cap C$

(イ) $A \cap (B \cup C)$

(ウ) $\overline{A \cup B \cup C}$

(エ) $B \cap (\overline{A \cup C})$

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2. 解き方の手順

(1)

ベン図を考える。全体集合を$U = \{1, 2, 3, ..., 12\}$とする。

$\overline{A} \cap \overline{B}$は$A$にも$B$にも属さない要素の集合であり、$\overline{A} \cap B$は$A$には属さないが$B$に属する要素の集合、$A \cap \overline{B}$は$A$には属するが$B$には属さない要素の集合である。

$A \cap B$は$A$にも$B$にも属する要素の集合である。

$U$の要素のうち、$\overline{A} \cap \overline{B}$に属するのは$\{2, 5, 7, 9, 10, 12\}$

$\overline{A} \cap B$に属するのは$\{4, 8\}$

$A \cap \overline{B}$に属するのは$\{1, 3, 6\}$

したがって、$A \cap B$に属するのは、$U$から上記の要素を除いた$\{1, 2, 3, ..., 12\} - \{2, 5, 7, 9, 10, 12, 4, 8, 1, 3, 6\} = \{11\}$

集合$A$は$A \cap \overline{B}$と$A \cap B$の和集合なので、

$A = \{1, 3, 6, 11\}$

集合$B$は$\overline{A} \cap B$と$A \cap B$の和集合なので、

$B = \{4, 8, 11\}$

(2)

まず、集合$A, B, C$を要素を書き並べる形で表現する。

$A = \{x | x \text{は10以下の奇数}\} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$B = \{3x | x \text{は4以下の自然数}\} = \{3 \cdot 1, 3 \cdot 2, 3 \cdot 3, 3 \cdot 4\} = \{3, 6, 9, 12\}$

$C = \{x | x \text{は10以下の素数}\} = \{2, 3, 5, 7\}$

(ア) $A \cap C = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{2, 3, 5, 7\} = \{3, 5, 7\}$

(イ) $B \cup C = \{3, 6, 9, 12\} \cup \{2, 3, 5, 7\} = \{2, 3, 5, 6, 7, 9, 12\}$

$A \cap (B \cup C) = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{2, 3, 5, 6, 7, 9, 12\} = \{3, 5, 7, 9\}$

(ウ) $A \cup B \cup C = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cup \{3, 6, 9, 12\} \cup \{2, 3, 5, 7\} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 12\}$

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$

$\overline{A \cup B \cup C} = U - (A \cup B \cup C) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\} - \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 12\} = \{4, 8, 10, 11\}$

(エ) $A \cup C = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cup \{2, 3, 5, 7\} = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}$

$\overline{A \cup C} = U - (A \cup C) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\} - \{1, 2, 3, 5, 7, 9\} = \{4, 6, 8, 10, 11, 12\}$

$B \cap (\overline{A \cup C}) = \{3, 6, 9, 12\} \cap \{4, 6, 8, 10, 11, 12\} = \{6, 12\}$

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3. 最終的な答え

(1)

$A = \{1, 3, 6, 11\}$

$B = \{4, 8, 11\}$

(2)

(ア) $A \cap C = \{3, 5, 7\}$

(イ) $A \cap (B \cup C) = \{3, 5, 7, 9\}$

(ウ) $\overline{A \cup B \cup C} = \{4, 8, 10, 11\}$

(エ) $B \cap (\overline{A \cup C}) = \{6, 12\}$