$\cos \alpha = \frac{3}{5}$, $\sin \beta = \frac{5}{13}$ であり、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ のとき、$\sin(\alpha + \beta)$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\cos \alpha = \frac{3}{5}$, $\sin \beta = \frac{5}{13}$ であり、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ のとき、$\sin(\alpha + \beta)$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sin \alpha$ と $\cos \beta$ の値を求める必要があります。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$\sin \alpha > 0$ なので、

$\sin \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

同様に、$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ より、

$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$

$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ より、$\cos \beta < 0$ なので、

$\cos \beta = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ を用いて、値を計算します。

$\sin(\alpha + \beta) = (\frac{4}{5})(-\frac{12}{13}) + (\frac{3}{5})(\frac{5}{13}) = -\frac{48}{65} + \frac{15}{65} = -\frac{33}{65}$

3. 最終的な答え

$\sin(\alpha + \beta) = -\frac{33}{65}$