(1) 200以下の自然数のうち、正の約数が8個である数は何個あるか。 (2) 18の倍数で、正の約数の個数が14個である自然数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 200以下の自然数のうち、正の約数が8個である数は何個あるか。

(2) 18の倍数で、正の約数の個数が14個である自然数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 約数の個数が8個である自然数を求める。

自然数$n$を素因数分解した結果が$n = p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$であるとき、約数の個数は$(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)$で求められる。

約数の個数が8個であるので、$(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1) = 8$となる。

8の約数の組み合わせは、8, 4x2, 2x2x2の3通りである。

したがって、自然数$n$は以下のいずれかの形で表される。

(a) $n = p^7$

(b) $n = p^3q$

(c) $n = pqr$

ただし、$p, q, r$は異なる素数とする。

(a) $n = p^7$の場合

$p=2$のとき、$n = 2^7 = 128 < 200$

$p=3$のとき、$n = 3^7 > 200$なので、この場合、$n = 128$のみである。

(b) $n = p^3q$の場合

$p=2$のとき、$n = 8q < 200$なので、$q < 25$。

$q$は2以外の素数なので、3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23

$n = 24, 40, 56, 88, 104, 136, 152, 184$の8個

$p=3$のとき、$n = 27q < 200$なので、$q < 200/27 \approx 7.4$。

$q$は3以外の素数なので、2, 5, 7

$n = 54, 135, 189$の3個

$p=5$のとき、$n = 125q < 200$なので、$q < 200/125 = 1.6$。

条件を満たす$q$は存在しない。

(c) $n = pqr$の場合

$2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 < 200$

$2 \cdot 3 \cdot 7 = 42 < 200$

$2 \cdot 3 \cdot 11 = 66 < 200$

$2 \cdot 3 \cdot 13 = 78 < 200$

$2 \cdot 3 \cdot 17 = 102 < 200$

$2 \cdot 3 \cdot 19 = 114 < 200$

$2 \cdot 3 \cdot 23 = 138 < 200$

$2 \cdot 3 \cdot 29 = 174 < 200$

$2 \cdot 3 \cdot 31 = 186 < 200$

$2 \cdot 5 \cdot 7 = 70 < 200$

$2 \cdot 5 \cdot 11 = 110 < 200$

$2 \cdot 5 \cdot 13 = 130 < 200$

$2 \cdot 5 \cdot 17 = 170 < 200$

$2 \cdot 5 \cdot 19 = 190 < 200$

$2 \cdot 7 \cdot 11 = 154 < 200$

$2 \cdot 7 \cdot 13 = 182 < 200$

$3 \cdot 5 \cdot 7 = 105 < 200$

$3 \cdot 5 \cdot 11 = 165 < 200$

$3 \cdot 5 \cdot 13 > 200$

よって、18個である。

以上より、1 + 8 + 3 + 18 = 30個

(2) 18の倍数で、約数の個数が14個である自然数$n$を求める。

$18 = 2 \cdot 3^2$なので、$n = 2^a \cdot 3^b \cdots$ ($a \ge 1, b \ge 2$)と表せる。

約数の個数が14なので、$(a+1)(b+1)\cdots = 14 = 2 \cdot 7$。

したがって、以下のいずれかの形で表せる。

$n = p^{13}$

$n = p^6q$

(a) $n = p^{13}$の場合

$n$は18の倍数なので、$n = 2^{13}$または$n = 3^{13}$である必要があるが、どちらも18の倍数ではないので、この場合は存在しない。

(b) $n = p^6q$の場合

$n$は18の倍数なので、少なくとも$2$と$3^2$を因数に持つ必要がある。

したがって、$n$は以下のいずれかの形となる。

(i) $n = 2^6 \cdot 3 = 192$

(ii) $n = 2 \cdot 3^6 = 1458$

(iii) $n = 2^6 \cdot p = 64p$ ($p \ne 2, 3$)

(iv) $n = 3^6 \cdot p = 729p$ ($p \ne 2, 3$)

(v) $n = 2 \cdot p^6$ ($p \ne 2, 3$)

(vi) $n = 3^2 \cdot p^6$ ($p \ne 2, 3$)

(i) $n = 2^6 \cdot 3 = 192 = 18 \cdot (32/3)$なので、18の倍数ではない。

(ii) $n = 2 \cdot 3^6 = 1458 = 18 \cdot 81$なので、18の倍数。約数の個数は$(1+1)(6+1) = 2 \cdot 7 = 14$で条件を満たす。

(iii) $n = 2^6 \cdot p$の場合、$p=3$が既にあるので不可。

(iv) $n = 3^6 \cdot p$の場合、$p=2$が既にあるので不可。

(v) $n = 2 \cdot p^6$の場合、18の倍数になるには、少なくとも$3^2$が必要。したがって、これはありえない。

(vi) $n = 3^2 \cdot p^6$の場合、18の倍数になるには、少なくとも$2$が必要。したがって、これはありえない。

したがって、$n = 1458$

3. 最終的な答え

(1) 30個

(2) 1458