直線 $l$ は関数 $y = ax$ のグラフ、曲線 $m$ は関数 $y = \frac{b}{x}$ のグラフである。点Aの座標は$(5, 2)$、点Bの座標は$(-5, -2)$であり、これらは直線 $l$ と曲線 $m$ の交点である。点Cはy軸上にあり、その座標は$(0, 7)$である。 (1) $a$ と $b$ の値をそれぞれ求める。 (2) 点Aと点Cを通る直線 $n$ の式を求める。 (3) $\triangle OAC$を、辺OCを軸として1回転させてできる立体の体積を求める（ただし、円周率は$\pi$とする）。

1. 問題の内容

直線 $l$ は関数 $y = ax$ のグラフ、曲線 $m$ は関数 $y = \frac{b}{x}$ のグラフである。点Aの座標は$(5, 2)$、点Bの座標は$(-5, -2)$であり、これらは直線 $l$ と曲線 $m$ の交点である。点Cはy軸上にあり、その座標は$(0, 7)$である。

(1) $a$ と $b$ の値をそれぞれ求める。

(2) 点Aと点Cを通る直線 $n$ の式を求める。

(3) $\triangle OAC$を、辺OCを軸として1回転させてできる立体の体積を求める（ただし、円周率は$\pi$とする）。

2. 解き方の手順

(1) $a$ と $b$ の値を求める。

点A$(5, 2)$は直線 $l$: $y = ax$ 上にあるので、$2 = 5a$。したがって、$a = \frac{2}{5}$。

点A$(5, 2)$は曲線 $m$: $y = \frac{b}{x}$ 上にあるので、$2 = \frac{b}{5}$。したがって、$b = 10$。

(2) 直線 $n$ の式を求める。

直線 $n$ は点A$(5, 2)$と点C$(0, 7)$を通る。直線 $n$ の式を $y = px + q$ とおく。

点Cの座標$(0, 7)$から、$q = 7$。

点Aの座標$(5, 2)$から、$2 = 5p + 7$。したがって、$5p = -5$, $p = -1$。

よって、直線 $n$ の式は $y = -x + 7$。

(3) $\triangle OAC$を、辺OCを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

$\triangle OAC$ を OC を軸として回転させると、円錐ができる。

円錐の底面の半径は、点Aのx座標の絶対値、つまり5である。

円錐の高さはOCの長さであり、それは点Cのy座標、つまり7である。

円錐の体積は、$\frac{1}{3} \times \pi \times (\text{底面の半径})^2 \times \text{高さ}$ で求められる。

したがって、円錐の体積は $\frac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 7 = \frac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 7 = \frac{175}{3}\pi$。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{2}{5}$, $b = 10$

(2) $y = -x + 7$

(3) $\frac{175}{3}\pi$