12本のくじがあり、そのうち5本が当たりくじである。この中から4本を同時に引くとき、以下の確率を求める問題である。 (1) 4本とも当たる確率 (2) 2本が当たる確率

1. 問題の内容

12本のくじがあり、そのうち5本が当たりくじである。この中から4本を同時に引くとき、以下の確率を求める問題である。

(1) 4本とも当たる確率

(2) 2本が当たる確率

2. 解き方の手順

(1) 4本とも当たる確率

まず、12本から4本を引く場合の総数を求める。これは組み合わせの問題なので、$_{12}C_4$ で表される。

$_{12}C_4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$

次に、5本の当たりくじから4本とも当たる場合の数を求める。これも組み合わせの問題なので、$_5C_4$ で表される。

$_5C_4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5$

したがって、4本とも当たる確率は、

$\frac{_5C_4}{_{12}C_4} = \frac{5}{495} = \frac{1}{99}$

(2) 2本が当たる確率

4本のうち2本が当たるということは、残りの2本は外れるということである。

まず、5本の当たりくじから2本を選ぶ組み合わせの数を求める。これは $_5C_2$ で表される。

$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

次に、7本の外れくじから2本を選ぶ組み合わせの数を求める。これは $_7C_2$ で表される。

$_7C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

したがって、2本が当たる場合の数は、

$_5C_2 \times _7C_2 = 10 \times 21 = 210$

求める確率は、

$\frac{_5C_2 \times _7C_2}{_{12}C_4} = \frac{210}{495} = \frac{14}{33}$

3. 最終的な答え

(1) 4本とも当たる確率: $\frac{1}{99}$

(2) 2本が当たる確率: $\frac{14}{33}$