数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (1) 初項 $a_1 = 3$、漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2n$ で定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求め、空欄を埋めます。 (2) 初項 $a_1 = 6$、漸化式 $a_{n+1} = 7a_n - 24$ で定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(1) 初項 $a_1 = 3$、漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2n$ で定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求め、空欄を埋めます。

(2) 初項 $a_1 = 6$、漸化式 $a_{n+1} = 7a_n - 24$ で定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2n$ より、階差数列 $b_n = a_{n+1} - a_n = 2n$ であることがわかります。

$n \ge 2$ のとき、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k$$

$$a_n = 3 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k = 3 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 3 + n^2 - n = n^2 - n + 3$$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 1 + 3 = 3$ となり、これは初項の条件を満たします。

よって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = n^2 - n + 3$ となります。

(2)

漸化式 $a_{n+1} = 7a_n - 24$ を変形します。

$a_{n+1} - \alpha = 7(a_n - \alpha)$ となるように $\alpha$ を求めます。

$a_{n+1} = 7a_n - 6\alpha$ となるので、 $-6\alpha = -24$ より $\alpha = 4$ です。

よって、$a_{n+1} - 4 = 7(a_n - 4)$ と変形できます。

$b_n = a_n - 4$ とおくと、$b_{n+1} = 7b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比7の等比数列です。

$b_1 = a_1 - 4 = 6 - 4 = 2$ より、$b_n = 2 \cdot 7^{n-1}$ です。

したがって、$a_n = b_n + 4 = 2 \cdot 7^{n-1} + 4$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^2 - n + 3$。空欄には $1 = 1$と$2 = 3$ が入ります。

(2) $a_n = 2 \cdot 7^{n-1} + 4$