与えられた分数の分母を有理化し、式を簡略化します。 与えられた式は $\frac{3 + \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化し、式を簡略化します。

与えられた式は $\frac{3 + \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ です。

2. 解き方の手順

分母の共役な複素数 $3 + \sqrt{7}$ を分母と分子にかけます。

$\frac{3 + \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} = \frac{(3 + \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})}{(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})}$

分母を計算します。

$(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7}) = 3^2 - (\sqrt{7})^2 = 9 - 7 = 2$

分子を計算します。

$(3 + \sqrt{7})(3 + \sqrt{7}) = (3 + \sqrt{7})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 9 + 6\sqrt{7} + 7 = 16 + 6\sqrt{7}$

したがって、

$\frac{(3 + \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})}{(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})} = \frac{16 + 6\sqrt{7}}{2}$

最後に、分数を簡約化します。

$\frac{16 + 6\sqrt{7}}{2} = \frac{16}{2} + \frac{6\sqrt{7}}{2} = 8 + 3\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$8 + 3\sqrt{7}$