問題2は、二次関数 $y = x^2 + (a+1)x + a + 2b$ (ただし、$a$, $b$ は整数) のグラフが $-2 \le x \le 3$ の範囲で $x$ 軸に接する場合に関する問題です。 問題3は、黄球1個、赤球2個、青球3個、白球4個、合計10個の球が入った袋から球を取り出す確率に関する問題です。

1. 問題の内容

問題2は、二次関数 $y = x^2 + (a+1)x + a + 2b$ (ただし、$a$, $b$ は整数) のグラフが $-2 \le x \le 3$ の範囲で $x$ 軸に接する場合に関する問題です。

問題3は、黄球1個、赤球2個、青球3個、白球4個、合計10個の球が入った袋から球を取り出す確率に関する問題です。

2. 解き方の手順

問題2：

(1) 頂点の$x$座標は $x = -\frac{a+1}{2}$ です。頂点の$y$座標を計算します。

$y = (-\frac{a+1}{2})^2 + (a+1)(-\frac{a+1}{2}) + a + 2b = \frac{(a+1)^2}{4} - \frac{(a+1)^2}{2} + a + 2b = -\frac{(a+1)^2}{4} + a + 2b$.

よって頂点の座標は $(-\frac{a+1}{2}, -\frac{(a+1)^2}{4} + a + 2b)$ です。

(2) グラフが $-2 \le x \le 3$ の範囲で $x$ 軸に接するため、頂点の$x$座標 $-\frac{a+1}{2}$ が $-2 \le -\frac{a+1}{2} \le 3$ を満たす必要があります。

これは $-6 \le a+1 \le 4$ 、すなわち $-7 \le a \le 3$ を意味します。

(3) グラフが $x$ 軸に接するので、頂点の$y$座標が0になる必要があります。つまり、 $-\frac{(a+1)^2}{4} + a + 2b = 0$ が必要です。これから、$2b = \frac{(a+1)^2}{4} - a$ となります。つまり、$b = \frac{(a+1)^2}{8} - \frac{a}{2}$。

(4) $a$と$b$は整数なので、$b = \frac{(a+1)^2 - 4a}{8} = \frac{a^2 - 2a + 1}{8} = \frac{(a-1)^2}{8}$.

$a$は整数なので、$(a-1)^2$が8の倍数となる必要があります。

$-7 \le a \le 3$ なので、$a-1$は $-8 \le a-1 \le 2$ の範囲の整数です。

$(a-1)^2$が8の倍数になるのは、$a-1 = -8, -4, 0$ のときのみです。

したがって、$a=-7, -3, 1$ の3通り。

$a = -7$ のとき $b = \frac{(-7-1)^2}{8} = \frac{64}{8} = 8$

$a = -3$ のとき $b = \frac{(-3-1)^2}{8} = \frac{16}{8} = 2$

$a = 1$ のとき $b = \frac{(1-1)^2}{8} = \frac{0}{8} = 0$

よって$(a, b)$ の組み合わせは $(-7, 8), (-3, 2), (1, 0)$ の3通りです。

問題3：

(1) 白球である確率は $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ です。

(2) 2個の球を取り出すとき、球の総数は ${}_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$通り。

2個の球が黄球または赤球である場合を考える。

2個とも黄球である確率は${}_1C_2 = 0$。

2個とも赤球である確率は${}_2C_2 = 1$。

1個が黄球、1個が赤球である確率は${}_1C_1 \times {}_2C_1 = 1 \times 2 = 2$。

よって、2個が黄球または赤球である組み合わせは、$1+2 = 3$通り。

したがって、確率は $\frac{3}{45} = \frac{1}{15}$ です。

(3) 3個の球の色がすべて同じである場合を考える。

3個とも青球の場合: ${}_3C_3 = 1$通り。

3個とも白球の場合: ${}_4C_3 = 4$通り。

3個の球を取り出す方法は${}_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$通り。

よって、確率は $\frac{1+4}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}$ です。

(4) 3個の球の色がすべて異なる場合を考える。

黄球1個、赤球1個、青球1個の組み合わせ: ${}_1C_1 \times {}_2C_1 \times {}_3C_1 = 1 \times 2 \times 3 = 6$通り。

黄球1個、赤球1個、白球1個の組み合わせ: ${}_1C_1 \times {}_2C_1 \times {}_4C_1 = 1 \times 2 \times 4 = 8$通り。

黄球1個、青球1個、白球1個の組み合わせ: ${}_1C_1 \times {}_3C_1 \times {}_4C_1 = 1 \times 3 \times 4 = 12$通り。

赤球1個、青球1個、白球1個の組み合わせ: ${}_2C_1 \times {}_3C_1 \times {}_4C_1 = 2 \times 3 \times 4 = 24$通り。

よって、確率は $\frac{6+8+12+24}{120} = \frac{50}{120} = \frac{5}{12}$ です。

(5) 3個の球の色が2種類である場合を考える。

全事象から(3)と(4)の確率を引けば求まる。

3種類の場合の数は(4)を参照する。

3種類：5/12

1種類：1/24

2種類：1 - 5/12 - 1/24 = 24/24 - 10/24 - 1/24 = 13/24

3. 最終的な答え

問題2：

(1) $(-\frac{a+1}{2}, -\frac{(a+1)^2}{4} + a + 2b)$

(2) $-7 \le a \le 3$

(3) $b = \frac{(a+1)^2}{8} - \frac{a}{2}$

(4) $(-7, 8), (-3, 2), (1, 0)$

問題3：

(1) $\frac{2}{5}$

(2) $\frac{1}{15}$

(3) $\frac{1}{24}$

(4) $\frac{5}{12}$

(5) $\frac{13}{24}$