大問2は、2次関数に関する問題が3つあります。 [1] は与えられた2次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ ($2 \le x \le 8$)について、頂点の座標、軸の方程式、最大値、最小値とその時の $x$ の値を求める問題です。 [2] は $a > 0$ の条件のもとで、2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ ($1 \le x \le 5$) の最大値、最小値に関する問題です。 [3] は放物線 $y = x^2$ を、2点(2, 3), (5, 0) を通るように平行移動させた2次関数を求める問題です。

1. 問題の内容

大問2は、2次関数に関する問題が3つあります。

[1] は与えられた2次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ ($2 \le x \le 8$)について、頂点の座標、軸の方程式、最大値、最小値とその時の $x$ の値を求める問題です。

[2] は $a > 0$ の条件のもとで、2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ ($1 \le x \le 5$) の最大値、最小値に関する問題です。

[3] は放物線 $y = x^2$ を、2点(2, 3), (5, 0) を通るように平行移動させた2次関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

[1]

(1) 2次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ を平方完成します。

$y = \frac{1}{4}(x^2 - 12x) + 10 = \frac{1}{4}(x^2 - 12x + 36 - 36) + 10 = \frac{1}{4}(x - 6)^2 - 9 + 10 = \frac{1}{4}(x - 6)^2 + 1$

よって、頂点の座標は(6, 1)で、軸は直線 $x = 6$ です。

(2) $2 \le x \le 8$ の範囲で、$y = \frac{1}{4}(x - 6)^2 + 1$ の最大値と最小値を求めます。頂点の $x$ 座標は6で、これは区間 $[2, 8]$ に含まれます。

$x = 6$ のとき、最小値 $y = 1$ をとります。

$x = 2$ のとき、$y = \frac{1}{4}(2 - 6)^2 + 1 = \frac{1}{4}(-4)^2 + 1 = \frac{1}{4}(16) + 1 = 4 + 1 = 5$

$x = 8$ のとき、$y = \frac{1}{4}(8 - 6)^2 + 1 = \frac{1}{4}(2)^2 + 1 = \frac{1}{4}(4) + 1 = 1 + 1 = 2$

したがって、$x = 2$ のとき、最大値 5 をとります。

[2]

(1) 2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ を平方完成します。

$y = a(x^2 - 4x) + 2 = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2 = a(x - 2)^2 - 4a + 2$

軸は直線 $x = 2$ で、これは区間 $[1, 5]$ に含まれます。

$a > 0$ なので、この関数は下に凸です。よって、$x = 5$ で最大値をとります。

$y = a(5 - 2)^2 - 4a + 2 = 9a - 4a + 2 = 5a + 2 = 7$

$5a = 5$

$a = 1$

(2) $x = 2$ で最小値をとります。

$y = -4a + 2 = -6$

$-4a = -8$

$a = 2$

[3]

放物線 $y = x^2$ を平行移動したものが、2点(2, 3), (5, 0)を通るので、平行移動後の放物線を $y = x^2 + bx + c$ とおきます。

点(2, 3)を通るので、$3 = 2^2 + 2b + c = 4 + 2b + c$

$2b + c = -1$

点(5, 0)を通るので、$0 = 5^2 + 5b + c = 25 + 5b + c$

$5b + c = -25$

連立方程式を解きます。

$5b + c - (2b + c) = -25 - (-1)$

$3b = -24$

$b = -8$

$2(-8) + c = -1$

$-16 + c = -1$

$c = 15$

したがって、平行移動後の放物線は $y = x^2 - 8x + 15$ です。

3. 最終的な答え

[1]

頂点：(6, 1)

軸：$x = 6$

最大値：5 ($x = 2$ のとき)

最小値：1 ($x = 6$ のとき)

[2]

(1) $a = 1$

(2) $a = 2$

[3]

$y = x^2 - 8x + 15$