（1）$\frac{2}{x^2-7x+10} - \frac{2}{x^2+x-30} = \frac{12}{(x-5)(x-\boxed{})(x+\boxed{})}$ の空欄を埋める問題。 （2）$\frac{13x+16}{6x^2+19x+10} = \frac{a}{3x+2} + \frac{b}{2x+5}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を定める問題。ただし、既に $a=5, b=6$ とあるので、確認問題の側面もある。

1. 問題の内容

（1）$\frac{2}{x^2-7x+10} - \frac{2}{x^2+x-30} = \frac{12}{(x-5)(x-\boxed{})(x+\boxed{})}$ の空欄を埋める問題。

（2）$\frac{13x+16}{6x^2+19x+10} = \frac{a}{3x+2} + \frac{b}{2x+5}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を定める問題。ただし、既に $a=5, b=6$ とあるので、確認問題の側面もある。

2. 解き方の手順

(1)

まず、左辺の分母を因数分解する。

$x^2 - 7x + 10 = (x-2)(x-5)$

$x^2 + x - 30 = (x-5)(x+6)$

よって、左辺は

$\frac{2}{(x-2)(x-5)} - \frac{2}{(x-5)(x+6)} = \frac{2(x+6) - 2(x-2)}{(x-2)(x-5)(x+6)} = \frac{2x+12-2x+4}{(x-2)(x-5)(x+6)} = \frac{16}{(x-2)(x-5)(x+6)}$

与式の右辺は

$\frac{12}{(x-5)(x-\boxed{})(x+\boxed{})}$

これが左辺と等しくなるためには、分母が一致する必要がある。

したがって、$\frac{16}{(x-2)(x-5)(x+6)} = \frac{12}{(x-5)(x-2)(x+6)}$ となる必要がある。

（2）

与えられた等式の右辺を通分する。

$\frac{a}{3x+2} + \frac{b}{2x+5} = \frac{a(2x+5) + b(3x+2)}{(3x+2)(2x+5)} = \frac{2ax+5a+3bx+2b}{6x^2+15x+4x+10} = \frac{(2a+3b)x + (5a+2b)}{6x^2+19x+10}$

これが $\frac{13x+16}{6x^2+19x+10}$ と恒等的に等しいので、分子の係数を比較する。

$2a+3b = 13$

$5a+2b = 16$

この連立方程式を解く。

$2 \times (2a+3b) - 3 \times (5a+2b) = 2 \times 13 - 3 \times 16$

$4a+6b - 15a - 6b = 26 - 48$

$-11a = -22$

$a=2$

$5(2)+2b=16$

$10+2b=16$

$2b=6$

$b=3$

画像では $a=5, b=6$ となっているが、正しくは $a=2, b=3$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{16}{(x-5)(x-2)(x+6)}$ より、$\frac{12}{(x-5)(x-\boxed{2})(x+\boxed{6})}$

(2) $a=2$, $b=3$