4. 2次方程式 $x^2 + (m+1)x + 3m - 2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。 5. 2次不等式 $x^2 - 6x + 9 > 0$ を解く。 6. 2次関数 $y = x^2 + 2mx - 2m - 1$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $m$ の値と接点の座標を求める。 7. 2次方程式 $x^2 - 3(m-1)x + 2m + 3 = 0$ が正の解と負の解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

4. 2次方程式 $x^2 + (m+1)x + 3m - 2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

5. 2次不等式 $x^2 - 6x + 9 > 0$ を解く。

6. 2次関数 $y = x^2 + 2mx - 2m - 1$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $m$ の値と接点の座標を求める。

7. 2次方程式 $x^2 - 3(m-1)x + 2m + 3 = 0$ が正の解と負の解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

4.

* 2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D$ が正である必要がある。

* $D = (m+1)^2 - 4(3m - 2) > 0$

* $m^2 + 2m + 1 - 12m + 8 > 0$

* $m^2 - 10m + 9 > 0$

* $(m - 1)(m - 9) > 0$

* したがって、$m < 1$ または $9 < m$

5.

* $x^2 - 6x + 9 > 0$

* $(x - 3)^2 > 0$

* $x \neq 3$ を満たすすべての実数

6.

* 2次関数が $x$ 軸と接するためには、判別式 $D = 0$ である必要がある。

* $D = (2m)^2 - 4(1)(-2m - 1) = 0$

* $4m^2 + 8m + 4 = 0$

* $m^2 + 2m + 1 = 0$

* $(m + 1)^2 = 0$

* $m = -1$

* 接点の $x$ 座標は $x = \frac{-2m}{2} = -m = 1$

* 接点の $y$ 座標は $0$

* よって、接点の座標は $(1, 0)$

7.

* 2次方程式が正の解と負の解を持つためには、2つの解の積が負である必要がある。

* 解の積は $\frac{2m + 3}{1} = 2m + 3$

* $2m + 3 < 0$

* $2m < -3$

* $m < -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

4. $m < 1, 9 < m$

5. 解は $x \neq 3$ で、選択肢の番号は2

6. $m = -1$, 接点の座標は $(1, 0)$

7. $m < -\frac{3}{2}$