与えられた方程式と不等式を解く問題です。$a$ は定数とします。 (1) $ax = 2(x+a)$ (2) $ax \leq 3$ (3) $ax+1 > x+a^2$

1. 問題の内容

与えられた方程式と不等式を解く問題です。$a$ は定数とします。

(1) $ax = 2(x+a)$

(2) $ax \leq 3$

(3) $ax+1 > x+a^2$

2. 解き方の手順

(1) 方程式 $ax = 2(x+a)$ を解く。

まず、右辺を展開します。

$ax = 2x + 2a$

次に、$x$ の項を左辺に集め、それ以外の項を右辺に集めます。

$ax - 2x = 2a$

$x$ でくくります。

$(a-2)x = 2a$

$a-2$ の値によって場合分けを行います。

(i) $a-2 \neq 0$ つまり $a \neq 2$ のとき、$x = \frac{2a}{a-2}$

(ii) $a-2 = 0$ つまり $a=2$ のとき、$0 \cdot x = 4$ となり、これを満たす $x$ は存在しません。したがって解なし。

(2) 不等式 $ax \leq 3$ を解く。

$a$ の値によって場合分けを行います。

(i) $a > 0$ のとき、$x \leq \frac{3}{a}$

(ii) $a < 0$ のとき、$x \geq \frac{3}{a}$

(iii) $a = 0$ のとき、$0 \cdot x \leq 3$ となり、これは常に成り立ちます。したがって、すべての実数 $x$ が解。

(3) 不等式 $ax+1 > x+a^2$ を解く。

$x$ の項を左辺に集め、それ以外の項を右辺に集めます。

$ax - x > a^2 - 1$

$x$ でくくります。

$(a-1)x > a^2 - 1$

$(a-1)x > (a-1)(a+1)$

$a-1$ の値によって場合分けを行います。

(i) $a-1 > 0$ つまり $a > 1$ のとき、$x > \frac{(a-1)(a+1)}{a-1}$ より、$x > a+1$

(ii) $a-1 < 0$ つまり $a < 1$ のとき、$x < \frac{(a-1)(a+1)}{a-1}$ より、$x < a+1$

(iii) $a-1 = 0$ つまり $a=1$ のとき、$0 \cdot x > 0$ となり、これを満たす $x$ は存在しません。したがって解なし。

3. 最終的な答え

(1)

$a \neq 2$ のとき、$x = \frac{2a}{a-2}$

$a = 2$ のとき、解なし

(2)

$a > 0$ のとき、$x \leq \frac{3}{a}$

$a < 0$ のとき、$x \geq \frac{3}{a}$

$a = 0$ のとき、すべての実数

(3)

$a > 1$ のとき、$x > a+1$

$a < 1$ のとき、$x < a+1$

$a = 1$ のとき、解なし