与えられた3つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \frac{1}{2}x(\log(3x) - 1)$ (2) $y = e^{2x}\cos^2(x)$ (3) $y = \frac{\sqrt{x}}{2}e^{x^2+2x}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \frac{1}{2}x(\log(3x) - 1)$

(2) $y = e^{2x}\cos^2(x)$

(3) $y = \frac{\sqrt{x}}{2}e^{x^2+2x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{2}x(\log(3x) - 1)$ を微分する。

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$u = \frac{1}{2}x$ , $v = \log(3x) - 1$ とおくと、

$u' = \frac{1}{2}$ , $v' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$

したがって、

$y' = \frac{1}{2}(\log(3x) - 1) + \frac{1}{2}x \cdot \frac{1}{x}$

$y' = \frac{1}{2}\log(3x) - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$y' = \frac{1}{2}\log(3x)$

(2) $y = e^{2x}\cos^2(x)$ を微分する。

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$u = e^{2x}$ , $v = \cos^2(x)$ とおくと、

$u' = 2e^{2x}$ , $v' = 2\cos(x)(-\sin(x)) = -2\cos(x)\sin(x)$

したがって、

$y' = 2e^{2x}\cos^2(x) + e^{2x}(-2\cos(x)\sin(x))$

$y' = 2e^{2x}\cos^2(x) - 2e^{2x}\cos(x)\sin(x)$

$y' = 2e^{2x}\cos(x)(\cos(x) - \sin(x))$

(3) $y = \frac{\sqrt{x}}{2}e^{x^2+2x}$ を微分する。

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$u = \frac{\sqrt{x}}{2}$ , $v = e^{x^2+2x}$ とおくと、

$u' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{4\sqrt{x}}$ , $v' = (2x+2)e^{x^2+2x}$

したがって、

$y' = \frac{1}{4\sqrt{x}}e^{x^2+2x} + \frac{\sqrt{x}}{2}(2x+2)e^{x^2+2x}$

$y' = e^{x^2+2x}(\frac{1}{4\sqrt{x}} + (x+1)\sqrt{x})$

$y' = e^{x^2+2x}(\frac{1}{4\sqrt{x}} + \frac{4x(x+1)\sqrt{x}}{4\sqrt{x}})$

$y' = \frac{e^{x^2+2x}}{4\sqrt{x}}(1+4x(x+1))$

$y' = \frac{e^{x^2+2x}}{4\sqrt{x}}(1+4x^2+4x)$

$y' = \frac{e^{x^2+2x}}{4\sqrt{x}}(4x^2+4x+1)$

$y' = \frac{(2x+1)^2}{4\sqrt{x}} e^{x^2+2x}$

$y' = e^{x^2+2x}(\frac{1}{4}x^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}})$

$y' = \frac{1}{4}x^{-\frac{1}{2}} e^{x^2+2x} + x^{\frac{1}{2}} e^{x^2+2x} + x^{\frac{3}{2}} e^{x^2+2x}$

$y' = e^{x^2+2x}(\frac{1}{4\sqrt{x}} + \sqrt{x} + x\sqrt{x})$

$y' = e^{x^2+2x}(\frac{1}{4}x^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}(1+x))$

$y' = e^{x^2+2x}(\frac{1}{4x^{1/2}} + (x+1)x^{1/2})$

$y' = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}e^{x^2+2x} + \sqrt{x} (2x+2) e^{x^2+2x} = (\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2(x+1)\sqrt{x}) e^{x^2+2x} = (\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x\sqrt{x} + 2\sqrt{x})e^{x^2+2x}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{1}{2}\log(3x)$

(2) $y' = 2e^{2x}\cos(x)(\cos(x) - \sin(x))$

(3) $y' = \frac{e^{x^2+2x}}{4\sqrt{x}}(4x^2+4x+1) = \frac{(2x+1)^2}{4\sqrt{x}}e^{x^2+2x}$

$y' = (\frac{1}{4}x^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}) e^{x^2+2x}$

$y' = e^{x^2+2x}(\frac{1}{4}x^{-\frac{1}{2}} + (x+1)x^{\frac{1}{2}})$

$y' = e^{x^2+2x}(\frac{1}{4\sqrt{x}} + (x+1)\sqrt{x})$

$y' = (\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} + 2x^{\frac{3}{2}}) e^{x^2+2x} = (\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2\sqrt{x} + 2x\sqrt{x} ) e^{x^2+2x}$