与えられた2つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2+x+1}}$ (2) $y = \frac{1}{3}\sin^2\sqrt{2x}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2+x+1}}$

(2) $y = \frac{1}{3}\sin^2\sqrt{2x}$

2. 解き方の手順

(1) 商の微分公式を使います。$u = x$、$v = \sqrt{x^2+x+1}$ とおくと、 $y = \frac{u}{v}$ であり、

$\frac{dy}{dx} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

$u' = 1$

$v' = \frac{1}{2}(x^2+x+1)^{-\frac{1}{2}}(2x+1) = \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2+x+1} - x \cdot \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}}{(\sqrt{x^2+x+1})^2}$

$= \frac{\sqrt{x^2+x+1} - \frac{x(2x+1)}{2\sqrt{x^2+x+1}}}{x^2+x+1}$

$= \frac{2(x^2+x+1) - (2x^2+x)}{2(x^2+x+1)\sqrt{x^2+x+1}}$

$= \frac{2x^2+2x+2 - 2x^2 - x}{2(x^2+x+1)^{\frac{3}{2}}}$

$= \frac{x+2}{2(x^2+x+1)^{\frac{3}{2}}}$

(2) 合成関数の微分を使います。

$y = \frac{1}{3} (\sin\sqrt{2x})^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \cdot 2\sin\sqrt{2x} \cdot (\sin\sqrt{2x})'$

$(\sin\sqrt{2x})' = \cos\sqrt{2x} \cdot (\sqrt{2x})'$

$(\sqrt{2x})' = \frac{1}{2}(2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x}}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3}\sin\sqrt{2x} \cos\sqrt{2x} \cdot \frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{2\sin\sqrt{2x}\cos\sqrt{2x}}{3\sqrt{2x}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{x+2}{2(x^2+x+1)^{\frac{3}{2}}}$

(2) $y' = \frac{2\sin\sqrt{2x}\cos\sqrt{2x}}{3\sqrt{2x}}$