与えられた関数について、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。 (1) $x = 2y^2 + 3\sqrt{y}$ (2) $\tan x + \frac{\log y}{3\sqrt{y}} = 5$

1. 問題の内容

与えられた関数について、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。

(1) $x = 2y^2 + 3\sqrt{y}$

(2) $\tan x + \frac{\log y}{3\sqrt{y}} = 5$

2. 解き方の手順

(1) $x = 2y^2 + 3\sqrt{y}$ を $x$ で微分します。

$\frac{dx}{dx} = \frac{d}{dx} (2y^2) + \frac{d}{dx} (3\sqrt{y})$

$1 = 4y \frac{dy}{dx} + \frac{3}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$1 = (4y + \frac{3}{2\sqrt{y}}) \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y + \frac{3}{2\sqrt{y}}}$

(2) $\tan x + \frac{\log y}{3\sqrt{y}} = 5$ を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx} (\tan x) + \frac{d}{dx} (\frac{\log y}{3\sqrt{y}}) = \frac{d}{dx} (5)$

$\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{3} \frac{\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \sqrt{y} - \log y \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx}}{y} = 0$

$\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{3} \frac{\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} - \frac{\log y}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx}}{y} = 0$

$\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{3} \frac{\frac{dy}{dx} (2 - \log y)}{2y\sqrt{y}} = 0$

$\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{dy}{dx} \frac{(2 - \log y)}{6y^{\frac{3}{2}}} = 0$

$\frac{dy}{dx} \frac{(2 - \log y)}{6y^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{\cos^2 x}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{6y^{\frac{3}{2}}}{\cos^2 x (2 - \log y)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y + \frac{3}{2\sqrt{y}}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{6y^{\frac{3}{2}}}{\cos^2 x (2 - \log y)}$