問題文はベータ関数 $B(p, q)$ を定義し、以下の3つの問いに答えるように求めています。 (1) 部分積分を用いて、$q \ge 2$ のとき、$B(p, q) = \frac{q-1}{p} B(p+1, q-1)$ が成り立つことを示します。 (2) 正の整数 $m, n$ に対して、$B(m, n) = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$ が成り立つことを示します。 (3) 正の整数 $m, n$ に対して、$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m (\beta-x)^n dx = \frac{m!n!}{(m+n+1)!} (\beta-\alpha)^{m+n+1}$ が成り立つことを示します。

1. 問題の内容

問題文はベータ関数 $B(p, q)$ を定義し、以下の3つの問いに答えるように求めています。

(1) 部分積分を用いて、$q \ge 2$ のとき、$B(p, q) = \frac{q-1}{p} B(p+1, q-1)$ が成り立つことを示します。

(2) 正の整数 $m, n$ に対して、$B(m, n) = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$ が成り立つことを示します。

(3) 正の整数 $m, n$ に対して、$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m (\beta-x)^n dx = \frac{m!n!}{(m+n+1)!} (\beta-\alpha)^{m+n+1}$ が成り立つことを示します。

2. 解き方の手順

(1) 部分積分を用いて、$B(p, q) = \frac{q-1}{p} B(p+1, q-1)$ を示す。

$B(p, q) = \int_{0}^{1} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx$

ここで、$u = (1-x)^{q-1}$, $dv = x^{p-1} dx$ とおくと、$du = -(q-1)(1-x)^{q-2} dx$, $v = \frac{x^p}{p}$ となります。

部分積分を行うと、

$B(p, q) = \left[ \frac{x^p}{p} (1-x)^{q-1} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^p}{p} \cdot -(q-1)(1-x)^{q-2} dx$

$= \left( \frac{1^p}{p} (1-1)^{q-1} - \frac{0^p}{p} (1-0)^{q-1} \right) + \frac{q-1}{p} \int_{0}^{1} x^p (1-x)^{q-2} dx$

$= 0 + \frac{q-1}{p} \int_{0}^{1} x^p (1-x)^{q-2} dx$

$= \frac{q-1}{p} B(p+1, q-1)$

したがって、$B(p, q) = \frac{q-1}{p} B(p+1, q-1)$ が成り立ちます。

(2) 数学的帰納法を用いて、$B(m, n) = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$ を示す。

$n=1$のとき:

$B(m, 1) = \int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{1-1} dx = \int_0^1 x^{m-1} dx = [\frac{x^m}{m}]_0^1 = \frac{1}{m} = \frac{(m-1)!(1-1)!}{(m+1-1)!} = \frac{(m-1)!0!}{m!}$

したがって、n=1のとき成り立つ。

次に、$n=k$のとき、$B(m, k) = \frac{(m-1)!(k-1)!}{(m+k-1)!}$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$のとき、

$B(m, k+1) = \frac{k}{m}B(m+1, k)$　(1)の結果より

帰納法の仮定より、$B(m+1, k) = \frac{m!(k-1)!}{(m+k)!}$

したがって、$B(m, k+1) = \frac{k}{m}\frac{m!(k-1)!}{(m+k)!} = \frac{k m! (k-1)!}{m (m+k)!} = \frac{m!(k)!}{(m+k)!m} = \frac{(m-1)!k!}{(m+k)!}$

また、$B(m, k+1) = \frac{(m-1)!((k+1)-1)!}{(m+k+1-1)!} = \frac{(m-1)!k!}{(m+k)!}$

したがって、n=k+1のときも成り立つ。

よって、数学的帰納法より、$B(m, n) = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$ が成り立つ。

(3) (2)を利用して、$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m (\beta-x)^n dx = \frac{m!n!}{(m+n+1)!} (\beta-\alpha)^{m+n+1}$ を示す。

$x = (\beta - \alpha)t + \alpha$ と置換すると、$dx = (\beta - \alpha)dt$, $x-\alpha = (\beta - \alpha)t$, $\beta - x = \beta - (\beta - \alpha)t - \alpha = (\beta-\alpha) - (\beta-\alpha)t = (\beta - \alpha)(1-t)$

したがって、

$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m (\beta-x)^n dx = \int_{0}^{1} ((\beta-\alpha)t)^m ((\beta-\alpha)(1-t))^n (\beta-\alpha) dt$

$= (\beta-\alpha)^m (\beta-\alpha)^n (\beta-\alpha) \int_{0}^{1} t^m (1-t)^n dt$

$= (\beta-\alpha)^{m+n+1} \int_{0}^{1} t^m (1-t)^n dt$

$= (\beta-\alpha)^{m+n+1} B(m+1, n+1)$

(2)の結果より、$B(m+1, n+1) = \frac{m!n!}{(m+n+1)!}$

したがって、$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m (\beta-x)^n dx = (\beta-\alpha)^{m+n+1} \frac{m!n!}{(m+n+1)!} = \frac{m!n!}{(m+n+1)!} (\beta-\alpha)^{m+n+1}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $B(p, q) = \frac{q-1}{p} B(p+1, q-1)$

(2) $B(m, n) = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$

(3) $\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m (\beta-x)^n dx = \frac{m!n!}{(m+n+1)!} (\beta-\alpha)^{m+n+1}$