問題3は、ベータ関数 $B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx$ に関する3つの小問から構成されています。 (1) 部分積分を用いて、$B(p, q) = \frac{q-1}{p} B(p+1, q-1)$ (ただし $q \geq 2$)を示す。 (2) 正の整数 $m, n$ に対して、$B(m, n) = \frac{(m-1)! (n-1)!}{(m+n-1)!}$ を示す。 (3) 正の整数 $m, n$ に対して、$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m (\beta - x)^n dx = \frac{m! n!}{(m+n+1)!} (\beta - \alpha)^{m+n+1}$ を示す。

1. 問題の内容

問題3は、ベータ関数 $B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx$ に関する3つの小問から構成されています。

(1) 部分積分を用いて、$B(p, q) = \frac{q-1}{p} B(p+1, q-1)$ (ただし $q \geq 2$)を示す。

(2) 正の整数 $m, n$ に対して、$B(m, n) = \frac{(m-1)! (n-1)!}{(m+n-1)!}$ を示す。

(3) 正の整数 $m, n$ に対して、$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m (\beta - x)^n dx = \frac{m! n!}{(m+n+1)!} (\beta - \alpha)^{m+n+1}$ を示す。

2. 解き方の手順

(1) 部分積分を用いて示す。$B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx$ において、$u = (1-x)^{q-1}$, $dv = x^{p-1} dx$ とおくと、$du = (q-1)(1-x)^{q-2}(-1) dx$, $v = \frac{x^p}{p}$ となる。したがって、部分積分を行うと、

$B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx = \left[ \frac{x^p}{p} (1-x)^{q-1} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^p}{p} (q-1)(1-x)^{q-2}(-1) dx = 0 + \frac{q-1}{p} \int_0^1 x^p (1-x)^{q-2} dx = \frac{q-1}{p} B(p+1, q-1)$

(2) (1)の結果を繰り返し用いることで示す。

$B(m, n) = \frac{n-1}{m} B(m+1, n-1) = \frac{n-1}{m} \frac{n-2}{m+1} B(m+2, n-2) = \cdots = \frac{(n-1)(n-2) \cdots 1}{m(m+1) \cdots (m+n-2)} B(m+n-1, 1) = \frac{(n-1)! (m-1)!}{(m+n-2)!} \frac{(m+n-2)!}{ (m-1)! (n-1)!} B(m+n-1, 1)$

ここで、$B(m+n-1, 1) = \int_0^1 x^{m+n-2} (1-x)^0 dx = \int_0^1 x^{m+n-2} dx = \left[ \frac{x^{m+n-1}}{m+n-1} \right]_0^1 = \frac{1}{m+n-1}$.

したがって、$B(m, n) = \frac{(n-1)!}{m(m+1) \cdots (m+n-2)} B(m+n-1, 1) = \frac{(n-1)!}{m(m+1) \cdots (m+n-2)} \frac{1}{m+n-1} = \frac{(n-1)! (m-1)!}{(m+n-1)!}$.

(3) $x = (\beta - \alpha)t + \alpha$ と変数変換すると、$dx = (\beta - \alpha) dt$, $x - \alpha = (\beta - \alpha) t$, $\beta - x = \beta - (\beta - \alpha) t - \alpha = (\beta - \alpha)(1-t)$.

積分範囲は、$x: \alpha \to \beta$ に対して、$t: 0 \to 1$.

したがって、$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m (\beta - x)^n dx = \int_0^1 [(\beta - \alpha)t]^m [(\beta - \alpha)(1-t)]^n (\beta - \alpha) dt = (\beta - \alpha)^{m+n+1} \int_0^1 t^m (1-t)^n dt = (\beta - \alpha)^{m+n+1} B(m+1, n+1)$.

(2)の結果より、$B(m+1, n+1) = \frac{m! n!}{(m+n+1)!}$.

よって、$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m (\beta - x)^n dx = \frac{m! n!}{(m+n+1)!} (\beta - \alpha)^{m+n+1}$.

3. 最終的な答え

(1) $B(p, q) = \frac{q-1}{p} B(p+1, q-1)$

(2) $B(m, n) = \frac{(m-1)! (n-1)!}{(m+n-1)!}$

(3) $\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m (\beta - x)^n dx = \frac{m! n!}{(m+n+1)!} (\beta - \alpha)^{m+n+1}$