与えられた数列の極限を求める問題です。 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n + 5}{4n^2 + 3n + 1} $$

1. 問題の内容

与えられた数列の極限を求める問題です。

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\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n + 5}{4n^2 + 3n + 1}

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2. 解き方の手順

数列の極限を求めるには、分子と分母を $n^2$ で割ります。

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\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n + 5}{4n^2 + 3n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{5}{n^2}}{4 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}

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$n$ が無限大に近づくとき、$\frac{1}{n}$、$\frac{1}{n^2}$は0に近づきます。

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\lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{5}{n^2}}{4 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{1 + 0 + 0}{4 + 0 + 0} = \frac{1}{4}

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3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$