(1) 放物線 $y = x^2 + 2x + 2$ と直線 $y = 2ax + b$ が共有点を持たないような $a, b$ が満たす条件を求め、その条件が表す領域を $ab$ 平面上に図示する。 (2) 2つの不等式 $x^2 + y^2 \ge 4$ と $x^2 + y^2 + 4x \le 0$ を同時に満たす領域を図示する。 (3) 連立不等式 $|x| + |y| \le 3$, $|x| \le 2$, $|y| \le 2$ の表す領域の面積を求める。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = x^2 + 2x + 2$ と直線 $y = 2ax + b$ が共有点を持たないような $a, b$ が満たす条件を求め、その条件が表す領域を $ab$ 平面上に図示する。

(2) 2つの不等式 $x^2 + y^2 \ge 4$ と $x^2 + y^2 + 4x \le 0$ を同時に満たす領域を図示する。

(3) 連立不等式 $|x| + |y| \le 3$, $|x| \le 2$, $|y| \le 2$ の表す領域の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $y = x^2 + 2x + 2$ と直線 $y = 2ax + b$ が共有点を持たない条件は、$x^2 + 2x + 2 = 2ax + b$ すなわち $x^2 + 2(1-a)x + 2-b = 0$ が実数解を持たないことである。

判別式を $D$ とすると、$D < 0$ より、

$D/4 = (1-a)^2 - (2-b) < 0$

$1 - 2a + a^2 - 2 + b < 0$

$a^2 - 2a + b - 1 < 0$

$b < -a^2 + 2a + 1 = -(a-1)^2 + 2$

よって、$ab$ 平面上において、$b < -(a-1)^2 + 2$ の領域を図示する。これは、上に凸な放物線 $b = -(a-1)^2 + 2$ の下側の領域を表す。

(2)

不等式 $x^2 + y^2 \ge 4$ は、原点を中心とする半径2の円の外部（境界を含む）を表す。

不等式 $x^2 + y^2 + 4x \le 0$ は、$x^2 + 4x + y^2 \le 0$ より、$(x+2)^2 + y^2 \le 4$ と変形できる。

これは、点 $(-2, 0)$ を中心とする半径2の円の内部（境界を含む）を表す。

したがって、$x^2 + y^2 \ge 4$ かつ $x^2 + y^2 + 4x \le 0$ を満たす領域は、原点を中心とする半径2の円の外部かつ、点 $(-2, 0)$ を中心とする半径2の円の内部の領域を表す。

(3)

連立不等式 $|x| + |y| \le 3$, $|x| \le 2$, $|y| \le 2$ の表す領域の面積を求める。

まず、$|x| + |y| \le 3$ は、4つの直線 $x+y=3, x-y=3, -x+y=3, -x-y=3$ で囲まれた正方形の内部を表す。

これは、点 $(3, 0), (0, 3), (-3, 0), (0, -3)$ を頂点とする正方形である。

$|x| \le 2$ は $-2 \le x \le 2$ を表し、$|y| \le 2$ は $-2 \le y \le 2$ を表す。

したがって、求める領域は、上記の正方形と、正方形 $-2 \le x \le 2$, $-2 \le y \le 2$ の共通部分である。

正方形の4つの頂点はそれぞれ $(3,0)$, $(0,3)$, $(-3,0)$, $(0,-3)$である。

この正方形が、正方形 $|x| \le 2, |y| \le 2$ からはみ出している部分の面積を考える。

$x > 0$, $y > 0$ の部分では、$x+y \le 3$ なので、$y \le -x+3$ である。

このとき、$x \le 2$, $y \le 2$ なので、$2 \le x \le 3$, $2 \le y \le 3$ という範囲となることはない。

領域は、点 $(2, 1), (1, 2), (-1, 2), (-2, 1), (-2, -1), (-1, -2), (1, -2), (2, -1)$ を通る。

$|x| + |y| \le 3$ と $|x| \le 2, |y| \le 2$ で表される領域の共通部分は、

正方形 $|x| \le 2, |y| \le 2$ から、4つの角の三角形を除いたものである。

各三角形の面積は、(1/2) * 1 * 1 = 1/2 である。

4つの三角形の面積の合計は、4 * (1/2) = 2 である。

正方形の面積は、4 * 4 = 16 である。

したがって、求める面積は、16 - 2 = 14 である。

3. 最終的な答え

(1) $b < -a^2 + 2a + 1$

(2) 図示は省略

(3) 14