問題は、ベータ関数 $B(p, q)$ が、$p \geq 1$, $q \geq 1$ である実数 $p, q$ に対して $B(p,q) = \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx$ と定義され、正の整数 $m, n$ に対して $B(m,n) = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$ が成り立つことを数学的帰納法で示す際に、$n=1$ のとき、なぜ $B(m, 1) = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{1-1} dx$ となるのか、そして $B(m, 1) = \frac{(m-1)!(1-1)!}{(m+1-1)!}$ ではないのか、という疑問です。

はい、承知いたしました。質問の内容を整理し、回答させていただきます。

1. 問題の内容

問題は、ベータ関数 $B(p, q)$ が、$p \geq 1$, $q \geq 1$ である実数 $p, q$ に対して

$B(p,q) = \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx$

と定義され、正の整数 $m, n$ に対して

$B(m,n) = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$

が成り立つことを数学的帰納法で示す際に、$n=1$ のとき、なぜ $B(m, 1) = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{1-1} dx$ となるのか、そして $B(m, 1) = \frac{(m-1)!(1-1)!}{(m+1-1)!}$ ではないのか、という疑問です。

2. 解き方の手順

まず、$n=1$ のとき、ベータ関数の定義式に代入してみます。

$B(m,n) = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$

ここで $n=1$ を代入すると、

$B(m,1) = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{1-1} dx = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{0} dx$

$(1-x)^{0} = 1$ であるため、

$B(m,1) = \int_{0}^{1} x^{m-1} dx$

となります。

次に、積分を計算します。

$\int_{0}^{1} x^{m-1} dx = [\frac{x^{m}}{m}]_{0}^{1} = \frac{1^{m}}{m} - \frac{0^{m}}{m} = \frac{1}{m}$

したがって、$B(m,1) = \frac{1}{m}$

次に、式 $B(m,n) = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$ に $n=1$ を代入してみます。

$B(m,1) = \frac{(m-1)!(1-1)!}{(m+1-1)!} = \frac{(m-1)!0!}{m!}$

$0! = 1$ であるので、

$B(m,1) = \frac{(m-1)!}{m!} = \frac{(m-1)!}{m(m-1)!} = \frac{1}{m}$

以上のことから、$B(m, 1) = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{1-1} dx$ となり、そして

$B(m, 1) = \frac{(m-1)!(1-1)!}{(m+1-1)!}$ で計算することも可能です。

どちらの方法を用いても、$B(m,1) = \frac{1}{m}$ となります。

3. 最終的な答え

$B(m, 1) = \frac{1}{m}$