画像に書かれているのは、ある数 $n$に関して、$B(m, k)$と$B(m+1, k)$がそれぞれ以下のように表されるという仮定のもと、$B(m+1, k)$の式がなぜ成り立つのかという問いです。 $B(m, k) = \frac{(m-1)(k-1)!}{(m+k-1)!}$ $B(m+1, k) = \frac{m(k-1)!}{(m+k)!}$

1. 問題の内容

画像に書かれているのは、ある数 $n$に関して、$B(m, k)$と$B(m+1, k)$がそれぞれ以下のように表されるという仮定のもと、$B(m+1, k)$の式がなぜ成り立つのかという問いです。

$B(m, k) = \frac{(m-1)(k-1)!}{(m+k-1)!}$

$B(m+1, k) = \frac{m(k-1)!}{(m+k)!}$

2. 解き方の手順

$B(m+1, k)$の式を$B(m, k)$の式を使って導くことを試みます。$B(m+1, k)$の式の分子は$m(k-1)!$です。$B(m, k)$の式の$m$を$m+1$に置き換えることを考えます。

$B(m+1, k) = \frac{((m+1)-1)(k-1)!}{((m+1)+k-1)!} = \frac{m(k-1)!}{(m+k)!}$

これは、画像に書かれている$B(m+1, k)$の式と一致します。

したがって、$B(m, k)$が与えられた式を満たすと仮定した場合、$B(m+1, k)$も同様の形式で表されることがわかります。

3. 最終的な答え

$B(m+1, k) = \frac{m(k-1)!}{(m+k)!}$ が成り立つ理由は、$B(m, k)$の式において、$m$を$m+1$に置き換えることで、$B(m+1, k)$の式が得られるからです。