$\sin \frac{7}{5} \pi$ を $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲にある角 $\theta$ の三角比で表す問題です。

1. 問題の内容

$\sin \frac{7}{5} \pi$ を $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲にある角 $\theta$ の三角比で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた角 $\frac{7}{5} \pi$ がどの象限にあるかを確認します。

$\pi < \frac{7}{5} \pi < \frac{3}{2} \pi$ なので、第3象限にあります。

$\sin$ は第3象限で負の値をとります。

$\frac{7}{5}\pi = \pi + \frac{2}{5}\pi$ と変形できます。

$\sin (\pi + \theta) = - \sin \theta$ の関係を利用します。

したがって、

$\sin \frac{7}{5} \pi = \sin (\pi + \frac{2}{5} \pi) = - \sin \frac{2}{5} \pi$

$\sin \frac{2}{5} \pi$ は正の値なので、 $-\sin \frac{2}{5} \pi$ は負の値となります。

ここで $\sin \theta = \sin (\pi - \theta)$の関係を利用すると

$-\sin \frac{2}{5} \pi = -\sin (\pi - \frac{2}{5} \pi) = -\sin \frac{3}{5} \pi$

また

$\frac{7}{5}\pi = 2\pi - \frac{3}{5}\pi$と考えることもできます。$\sin (2\pi - \theta) = -\sin \theta$ より

$\sin \frac{7}{5}\pi = \sin (2\pi - \frac{3}{5}\pi) = -\sin \frac{3}{5} \pi$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で表すために、$-\sin \frac{3}{5} \pi = - \cos (\frac{\pi}{2} - \frac{3}{5} \pi) = - \cos (\frac{5 \pi}{10} - \frac{6\pi}{10}) = -\cos (-\frac{\pi}{10}) = -\cos (\frac{\pi}{10})$

3. 最終的な答え

$-\sin \frac{3}{5}\pi$ または $-\cos \frac{\pi}{10}$