$\sin{\frac{7}{5}\pi}$ を $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲にある角 $\theta$ の三角比で表す問題です。

1. 問題の内容

$\sin{\frac{7}{5}\pi}$ を $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲にある角 $\theta$ の三角比で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず $\frac{7}{5}\pi$ がどの象限にあるかを確認します。

$\frac{7}{5}\pi = \pi + \frac{2}{5}\pi$ なので、$\frac{7}{5}\pi$ は第3象限の角です。

$\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$ の公式を利用します。

$\sin\frac{7}{5}\pi = \sin(\pi + \frac{2}{5}\pi) = -\sin\frac{2}{5}\pi$

$\frac{2}{5}\pi$ は第2象限の角です。

$\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ の公式を利用します。

$\sin\frac{2}{5}\pi = \sin(\pi - \frac{2}{5}\pi) = \sin\frac{3}{5}\pi$

したがって、

$\sin\frac{7}{5}\pi = -\sin\frac{2}{5}\pi$

ここで

$\sin \frac{2}{5} \pi = \sin (\pi - \frac{2}{5} \pi) = \sin \frac{3}{5} \pi = \sin (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{10} \pi) = \cos (\frac{\pi}{10})$.

より良い方法として

$\frac{7}{5}\pi = \pi + \frac{2}{5}\pi$

$\sin\frac{7}{5}\pi = \sin(\pi + \frac{2}{5}\pi) = -\sin\frac{2}{5}\pi = -\sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{2} - \frac{2}{5}\pi)) = -\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2}{5}\pi) = -\cos(\frac{5-4}{10}\pi) = -\cos\frac{\pi}{10}$

ところが、角度の範囲を勘案すると、$sin \frac{7}{5} \pi$ の値は負なので、角度が負の値になることを許容すると$-\cos(\frac{\pi}{10})$でも正解になる。しかしここでは $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲の角度で表すことが要求されているので、別のやり方で答えを導く。

$\sin \frac{7}{5} \pi = -\sin \frac{2}{5} \pi$

より、$0 \le \frac{2}{5} \pi \le \frac{\pi}{2}$ でないため、$-\sin \frac{2}{5} \pi$ は答えにならない。

$\sin\frac{7}{5}\pi = \sin(\pi + \frac{2}{5}\pi) = -\sin\frac{2}{5}\pi = -\sin(\pi - \frac{3}{5}\pi) = -\sin \frac{3}{5} \pi$

$\frac{3}{5} \pi \ge \frac{\pi}{2}$である。

$\sin \frac{7}{5} \pi = -\sin \frac{2}{5} \pi = - \sin( \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{2} - \frac{2}{5}\pi)) = -\cos (\frac{5-4}{10}\pi) = -\cos \frac{\pi}{10}$

3. 最終的な答え

$-\sin \frac{2}{5} \pi$

または

$-\cos \frac{\pi}{10}$

答えは $-\sin \frac{2}{5} \pi$