$a$を定数とする。2次方程式 $x^2 - 2ax + a + 5 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、 $\alpha + \beta$と$\alpha \beta$の値を求め、また、$\alpha + \beta, \alpha \beta$が$x$の方程式 $x^2 - kx - 5k + 2 = 0$の2つの解となるような$a$と実数$k$の値を求める。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。2次方程式 $x^2 - 2ax + a + 5 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、

$\alpha + \beta$と$\alpha \beta$の値を求め、また、$\alpha + \beta, \alpha \beta$が$x$の方程式 $x^2 - kx - 5k + 2 = 0$の2つの解となるような$a$と実数$k$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から$\alpha + \beta$と$\alpha \beta$を$a$で表す。

$x^2 - 2ax + a + 5 = 0$において、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2a$

$\alpha \beta = a + 5$

次に、$\alpha + \beta, \alpha \beta$が$x^2 - kx - 5k + 2 = 0$の2つの解であるから、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta + \alpha \beta = k$

$(\alpha + \beta) \alpha \beta = -(-5k+2) = 5k-2$

$\alpha + \beta = 2a$と$\alpha \beta = a+5$を代入すると、

$2a + a + 5 = k$より $k = 3a + 5$

$2a(a+5) = 5k - 2$より$2a^2 + 10a = 5k - 2$

$k = 3a + 5$を代入すると、$2a^2 + 10a = 5(3a+5) - 2$

$2a^2 + 10a = 15a + 25 - 2$

$2a^2 - 5a - 23 = 0$

これを解くと、

$a = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(-23)}}{2(2)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 184}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{209}}{4}$

次に、解と係数の関係を使う。$x^2 - kx - 5k + 2 = 0$の2つの解が$\alpha + \beta$と$\alpha \beta$であるから、

$\alpha + \beta + \alpha \beta = k$ かつ $(\alpha + \beta)(\alpha \beta) = 5k - 2$

$\alpha + \beta = 2a$、$\alpha \beta = a + 5$を代入すると、

$2a + a + 5 = k$、つまり $3a + 5 = k$

$2a(a + 5) = 5k - 2$、つまり $2a^2 + 10a = 5k - 2$

$k = 3a + 5$を$2a^2 + 10a = 5k - 2$に代入すると、

$2a^2 + 10a = 5(3a + 5) - 2$

$2a^2 + 10a = 15a + 25 - 2$

$2a^2 - 5a - 23 = 0$

これは、

$a = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 184}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{209}}{4}$

しかし、$a$は整数であるはずなので、違う解き方をする。

$x^2-kx-5k+2=0$の解が$\alpha+\beta=2a$と$\alpha\beta=a+5$なので、これらを代入して

$(2a)^2-k(2a)-5k+2=0$

$(a+5)^2-k(a+5)-5k+2=0$

$4a^2-2ak-5k+2=0$

$a^2+10a+25-ak-5k-5k+2=0$

$a^2+10a+27-ak-10k=0$

$k$について整理すると

$2ak+5k=4a^2+2$

$ak+10k=a^2+10a+27$

$k(2a+5)=4a^2+2$

$k(a+10)=a^2+10a+27$

$k=\frac{4a^2+2}{2a+5}=\frac{a^2+10a+27}{a+10}$

$(4a^2+2)(a+10)=(a^2+10a+27)(2a+5)$

$4a^3+40a^2+2a+20=2a^3+5a^2+20a^2+50a+54a+135$

$2a^3+15a^2-102a-115=0$

$(a-5)(2a^2+25a+23)=0$

$a=5, \frac{-25\pm\sqrt{625-4(2)(23)}}{4} = \frac{-25\pm\sqrt{441}}{4} = \frac{-25\pm21}{4} = -1, -\frac{23}{2}$

$a=-1$のとき、$k = \frac{4(-1)^2+2}{2(-1)+5}=\frac{6}{3}=2$

$a=5$のとき、$k=\frac{4(5^2)+2}{2(5)+5} = \frac{102}{15}=\frac{34}{5}$

$\alpha, \beta$が実数である条件：$x^2 - 2ax + a + 5 = 0$の判別式 $D \ge 0$

$D = (-2a)^2 - 4(a + 5) = 4a^2 - 4a - 20 = 4(a^2 - a - 5) \ge 0$

$a^2 - a - 5 \ge 0$

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$

$a \le \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$ または $a \ge \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$

したがって、$a = -1$が適する。このとき、$k = 2$

よって、$a=-1$かつ$k=2$

$a=5$のときは、$k = \frac{34}{5}$だが、このとき、$a^2-a-5 = 25-5-5 = 15>0$を満たす。

しかし、この場合、$k$が整数ではない。

$a = -1$, $k = 3(-1) + 5 = 2$

$a = 5$では、$\alpha+\beta = 10$, $\alpha\beta = 10$. $x^2 - kx - 5k + 2 = 0$, $x^2 - 10x + 10 = 0$. $D = k^2 - 4(2 - 5k) = 100 - 8 + 200 = 292$.

$a=5$のとき $x^2 - 10x + 10=0$なので、$x=\frac{10\pm\sqrt{100-40}}{2} = 5 \pm \sqrt{15}$

$a = \frac{-23}{2}$のとき

3. 最終的な答え

$\alpha + \beta = 2a$

$\alpha \beta = a + 5$

$a = -1$, $k = 2$

$a = \frac{-23}{2}$ のとき、$k = -29/4$

ア: 2

イ: 5

ウエ: -1

オ: 2

カキク: -23

ケ: 2

コサシ: -29

ス: 4