問題は2つあります。 (1) 半径4cm、面積$10\pi cm^2$のおうぎ形の弧の長さを求める。 (2) 中心角$135^\circ$、弧の長さ$6\pi cm$のおうぎ形の面積を求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 半径4cm、面積$10\pi cm^2$のおうぎ形の弧の長さを求める。

(2) 中心角$135^\circ$、弧の長さ$6\pi cm$のおうぎ形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

おうぎ形の面積の公式は、$S = \pi r^2 \times \frac{x}{360}$ です。ここで、$S$ は面積、$r$ は半径、$x$ は中心角です。

与えられた情報から、$r = 4$ および $S = 10\pi$ です。これらを公式に代入して、$x$ を求めます。

$10\pi = \pi (4^2) \times \frac{x}{360}$

$10\pi = 16\pi \times \frac{x}{360}$

$\frac{10}{16} = \frac{x}{360}$

$x = \frac{10}{16} \times 360 = \frac{5}{8} \times 360 = 5 \times 45 = 225$

おうぎ形の弧の長さの公式は、$L = 2\pi r \times \frac{x}{360}$ です。ここで、$L$ は弧の長さです。

$L = 2\pi (4) \times \frac{225}{360} = 8\pi \times \frac{5}{8} = 5\pi$

(2)

おうぎ形の面積の公式は、$S = \frac{1}{2} Lr$ です。ここで、$S$ は面積、$L$ は弧の長さ、$r$ は半径です。

まず、弧の長さの公式 $L = 2\pi r \times \frac{x}{360}$ を使って半径 $r$ を求めます。与えられた情報から、$L = 6\pi$ および $x = 135$ です。

$6\pi = 2\pi r \times \frac{135}{360}$

$6 = 2r \times \frac{3}{8}$

$6 = \frac{3}{4}r$

$r = 6 \times \frac{4}{3} = 8$

次に、$S = \frac{1}{2} Lr$ を使って面積 $S$ を求めます。

$S = \frac{1}{2} (6\pi)(8) = 24\pi$

3. 最終的な答え

(1) 弧の長さ: $5\pi cm$

(2) 面積: $24\pi cm^2$