与えられた数式 $(a+b)^2(a^2-ab+b^2)^2$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた数式 $(a+b)^2(a^2-ab+b^2)^2$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)^2$ と $(a^2-ab+b^2)^2$ をそれぞれ展開します。

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a^2-ab+b^2)^2 = (a^2-ab+b^2)(a^2-ab+b^2) = a^4 - a^3b + a^2b^2 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + a^2b^2 - ab^3 + b^4 = a^4 - 2a^3b + 3a^2b^2 - 2ab^3 + b^4$

次に、$(a^2 + 2ab + b^2)(a^4 - 2a^3b + 3a^2b^2 - 2ab^3 + b^4)$ を展開します。

$a^2(a^4 - 2a^3b + 3a^2b^2 - 2ab^3 + b^4) = a^6 - 2a^5b + 3a^4b^2 - 2a^3b^3 + a^2b^4$

$2ab(a^4 - 2a^3b + 3a^2b^2 - 2ab^3 + b^4) = 2a^5b - 4a^4b^2 + 6a^3b^3 - 4a^2b^4 + 2ab^5$

$b^2(a^4 - 2a^3b + 3a^2b^2 - 2ab^3 + b^4) = a^4b^2 - 2a^3b^3 + 3a^2b^4 - 2ab^5 + b^6$

上記の3つの式を足し合わせると、

$a^6 - 2a^5b + 3a^4b^2 - 2a^3b^3 + a^2b^4 + 2a^5b - 4a^4b^2 + 6a^3b^3 - 4a^2b^4 + 2ab^5 + a^4b^2 - 2a^3b^3 + 3a^2b^4 - 2ab^5 + b^6 = a^6 + 2a^3b^3 + b^6$

よって、

$(a^2 + 2ab + b^2)(a^4 - 2a^3b + 3a^2b^2 - 2ab^3 + b^4) = a^6 + 2a^3b^3 + b^6$

ここで、$a^6 + 2a^3b^3 + b^6 = (a^3)^2 + 2(a^3)(b^3) + (b^3)^2 = (a^3 + b^3)^2$

また、$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ であるので、

$(a^3 + b^3)^2 = [(a+b)(a^2-ab+b^2)]^2 = (a+b)^2(a^2-ab+b^2)^2$

$a^6+2a^3b^3+b^6=(a^2)^3 + (b^2)^3 = (a^3+b^3)^2$.

さらに、$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. よって、$(a^3+b^3)^2 = (a+b)^2(a^2-ab+b^2)^2$。

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

したがって、

$(a+b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2-ab+b^2) = ((a+b)(a^2-ab+b^2))^2 = (a^3+b^3)^2=a^6+2a^3b^3+b^6$

3. 最終的な答え

$a^6 + 2a^3b^3 + b^6$