全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、集合 $A = \{2, 4, 6\}$、集合 $B = \{1, 3, 4, 7\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $A \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A \cup B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、集合 $A = \{2, 4, 6\}$、集合 $B = \{1, 3, 4, 7\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $A \cap \overline{B}$

(4) $\overline{A \cup B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ は、全体集合 $U$ から集合 $A$ の要素を取り除いた集合です。

$\overline{A} = U - A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{2, 4, 6\} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9\}$

(2) $\overline{B}$ は、全体集合 $U$ から集合 $B$ の要素を取り除いた集合です。

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{1, 3, 4, 7\} = \{2, 5, 6, 8, 9\}$

(3) $A \cap \overline{B}$ は、集合 $A$ と集合 $\overline{B}$ の共通部分です。

$A \cap \overline{B} = \{2, 4, 6\} \cap \{2, 5, 6, 8, 9\} = \{2, 6\}$

(4) $A \cup B$ は、集合 $A$ と集合 $B$ の和集合です。

$A \cup B = \{2, 4, 6\} \cup \{1, 3, 4, 7\} = \{1, 2, 3, 4, 6, 7\}$

$\overline{A \cup B}$ は、全体集合 $U$ から集合 $A \cup B$ の要素を取り除いた集合です。

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{1, 2, 3, 4, 6, 7\} = \{5, 8, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9\}$

(2) $\overline{B} = \{2, 5, 6, 8, 9\}$

(3) $A \cap \overline{B} = \{2, 6\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{5, 8, 9\}$