点Oが三角形ABCの外心であるとき、図に示された角度 $x$ と $y$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

点Oが三角形ABCの外心であるとき、図に示された角度 $x$ と $y$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

外心は三角形の各頂点から等距離にある点です。したがって、OB=OCとなります。

三角形OBCは二等辺三角形なので、$\angle OBC = \angle OCB$。

また、$\angle OBC = 23^{\circ}$、$\angle OCB = 34^{\circ}$です。問題の図よりOC=OBなので$\angle OBC = 23^{\circ}$とわかります。

三角形OBCの内角の和は$180^{\circ}$なので、

$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^{\circ}$

$\angle BOC + 23^{\circ} + 23^{\circ} = 180^{\circ}$

$\angle BOC = 180^{\circ} - 46^{\circ}$

$\angle BOC = 134^{\circ}$

よって、$x = 134^{\circ}$

外心の性質として、$\angle BOC = 2 \angle BAC$ が成り立つので、$134^{\circ} = 2 \angle BAC$となります。したがって、

$\angle BAC = \frac{134^{\circ}}{2} = 67^{\circ}$

よって、$y = 67^{\circ}$

3. 最終的な答え

$x = 134^{\circ}$

$y = 67^{\circ}$