複素数 $z$ が $z \neq 0$ を満たすとき、以下の公式が成り立つことを証明する問題です。 $|\frac{1}{z}| = \frac{1}{|z|}$ $\arg(\frac{1}{z}) = -\arg z$

1. 問題の内容

複素数 $z$ が $z \neq 0$ を満たすとき、以下の公式が成り立つことを証明する問題です。

$|\frac{1}{z}| = \frac{1}{|z|}$

$\arg(\frac{1}{z}) = -\arg z$

2. 解き方の手順

公式[II]を利用します。$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$とするとき、$w=1$と置きます。

すると、$|w|=1$であり、$\arg w = 0$となります。

公式[II]の(ii)より、

$|\frac{z}{w}| = \frac{|z|}{|w|}$

$\arg(\frac{z}{w}) = \arg z - \arg w$

この式に$w=1$を代入すると、

$|\frac{z}{1}| = \frac{|z|}{1}$

$\arg(\frac{z}{1}) = \arg z - 0$

となり、

$|z| = |z|$

$\arg(z) = \arg z$

が成り立ちます。

ここで、$z$を$1/z$に置き換えることを考えます。公式[II]の(ii)で$z=1$, $w=z$と置くと、

$|\frac{1}{z}| = \frac{|1|}{|z|}$

$\arg(\frac{1}{z}) = \arg 1 - \arg z$

複素数1の絶対値は1なので、$|1| = 1$。また、複素数1の偏角は0なので、$\arg 1 = 0$。したがって、

$|\frac{1}{z}| = \frac{1}{|z|}$

$\arg(\frac{1}{z}) = 0 - \arg z = -\arg z$

3. 最終的な答え

$|\frac{1}{z}| = \frac{1}{|z|}$

$\arg(\frac{1}{z}) = -\arg z$