与えられた繁分数式を簡単にせよという問題です。 繁分数式は、 $\frac{1 - \frac{1}{a}}{a - \frac{1}{a^2}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた繁分数式を簡単にせよという問題です。

繁分数式は、

$\frac{1 - \frac{1}{a}}{a - \frac{1}{a^2}}$

です。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ整理します。

分子：

$1 - \frac{1}{a} = \frac{a}{a} - \frac{1}{a} = \frac{a-1}{a}$

分母：

$a - \frac{1}{a^2} = \frac{a^3}{a^2} - \frac{1}{a^2} = \frac{a^3 - 1}{a^2}$

したがって、与えられた繁分数式は、

$\frac{\frac{a-1}{a}}{\frac{a^3 - 1}{a^2}}$

となります。

次に、分数の割り算を掛け算に変換します。

$\frac{\frac{a-1}{a}}{\frac{a^3 - 1}{a^2}} = \frac{a-1}{a} \times \frac{a^2}{a^3 - 1}$

ここで、$a^3 - 1$ を因数分解します。

$a^3 - 1 = (a-1)(a^2 + a + 1)$

したがって、

$\frac{a-1}{a} \times \frac{a^2}{a^3 - 1} = \frac{a-1}{a} \times \frac{a^2}{(a-1)(a^2 + a + 1)}$

$(a-1)$ を約分します。

$\frac{a-1}{a} \times \frac{a^2}{(a-1)(a^2 + a + 1)} = \frac{1}{a} \times \frac{a^2}{(a^2 + a + 1)}$

$a$ を約分します。

$\frac{1}{a} \times \frac{a^2}{(a^2 + a + 1)} = \frac{a}{a^2 + a + 1}$

3. 最終的な答え

$\frac{a}{a^2 + a + 1}$