与えられた4つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ (3) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ (4) $\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

(3) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

(4) $\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ の場合

分母分子に$\sqrt{2}$をかけます。

$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ の場合

分母分子に$\sqrt{5} - \sqrt{3}$をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

(3) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ の場合

分母分子に$\sqrt{3} + \sqrt{2}$をかけます。

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{18} + \sqrt{12}}{3 - 2} = \frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{1} = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$

(4) $\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}}$ の場合

分母分子に$3 - 2\sqrt{2}$をかけます。

$\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} = \frac{(3 - 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = \frac{9 - 12\sqrt{2} + 8}{9 - 8} = \frac{17 - 12\sqrt{2}}{1} = 17 - 12\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{6}$

(2) $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

(3) $3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$

(4) $17 - 12\sqrt{2}$