関数 $f(\theta) = \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) - 1$ について、以下の問題を解く。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ とする。 (1) $t = \sin \theta + \cos \theta$ とおくとき、$f(\theta)$ を $t$ の式で表す。 (2) $t$ のとりうる値の範囲を求める。 (3) $f(\theta)$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) - 1$ について、以下の問題を解く。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ とする。

(1) $t = \sin \theta + \cos \theta$ とおくとき、$f(\theta)$ を $t$ の式で表す。

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求める。

(3) $f(\theta)$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(\theta)$ を $t$ で表す。

まず、$t = \sin \theta + \cos \theta$ の両辺を2乗すると、

$t^2 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$

したがって、$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = t^2 - 1$ となる。

よって、

$f(\theta) = \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) - 1 = (t^2 - 1) + 2t - 1 = t^2 + 2t - 2$

したがって、$f(\theta) = t^2 + 2t - 2$ となる。

(2) $t$ の取りうる値の範囲を求める。

$t = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

$0 \le \theta < 2\pi$ であるから、$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$ である。

よって、$-1 \le \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$ より、$-\sqrt{2} \le \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

したがって、$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ となる。

(3) $f(\theta)$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

$f(\theta) = t^2 + 2t - 2 = (t+1)^2 - 3$

$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ であり、軸 $t = -1$ はこの範囲に含まれている。

$t = -1$ のとき、最小値 $f(\theta) = -3$ をとる。

このとき、$\sin \theta + \cos \theta = -1$ より、$\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -1$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ となり、

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

したがって、$\theta = \pi, \frac{3\pi}{2}$

$t = \sqrt{2}$ のとき、最大値 $f(\theta) = (\sqrt{2} + 1)^2 - 3 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 - 3 = 2\sqrt{2}$ をとる。

このとき、$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}$ より、$\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = 1$ となり、$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $f(\theta) = t^2 + 2t - 2$

(2) $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(3) 最大値 $2\sqrt{2}$ ($\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき)、最小値 $-3$ ($\theta = \pi, \frac{3\pi}{2}$ のとき)