与えられた10個の極限値を計算する問題です。ただし、$n$ は自然数です。問題文には「キーワードはロピタル！」と書かれているため、ロピタルの定理を利用することが推奨されています。

1. 問題の内容

与えられた10個の極限値を計算する問題です。ただし、$n$ は自然数です。問題文には「キーワードはロピタル！」と書かれているため、ロピタルの定理を利用することが推奨されています。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to 2} \frac{2x^2 - x - 6}{x^3 - 8}$

$x=2$を代入すると、$0/0$ の不定形になるので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to 2} \frac{2x^2 - x - 6}{x^3 - 8} = \lim_{x\to 2} \frac{4x - 1}{3x^2} = \frac{4(2) - 1}{3(2)^2} = \frac{7}{12}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{x}$

$x=0$を代入すると、$0/0$ の不定形になるので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{2\cos 2x}{1} = 2\cos(0) = 2$

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$

$x=0$を代入すると、$0/0$ の不定形になるので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{e^0 + e^0}{\cos 0} = \frac{1+1}{1} = 2$

(4) $\lim_{x\to 1} \frac{\log x}{x-1}$

$x=1$を代入すると、$0/0$ の不定形になるので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to 1} \frac{\log x}{x-1} = \lim_{x\to 1} \frac{1/x}{1} = \frac{1}{1} = 1$

(5) $\lim_{x\to +0} \frac{\log (\sin x)}{\log x}$

$x\to +0$で $\sin x \to 0$ かつ $x \to 0$であるから、$x\to +0$で$\log(\sin x)\to -\infty$ かつ $\log(x)\to -\infty$となり、 $-\infty / -\infty$ の不定形である。したがって、ロピタルの定理を適用する。

$\lim_{x\to +0} \frac{\log (\sin x)}{\log x} = \lim_{x\to +0} \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to +0} \frac{x \cos x}{\sin x} = \lim_{x\to +0} \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x = 1 \cdot 1 = 1$

(6) $\lim_{x\to 0} \frac{x-\sin x}{x^2}$

$x=0$を代入すると、$0/0$ の不定形になるので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{x-\sin x}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{2x}$

再び $x=0$を代入すると、$0/0$ の不定形になるので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{2} = \frac{0}{2} = 0$

(7) $\lim_{x\to \infty} \frac{x^n}{e^x}$

$x\to \infty$で$\frac{\infty}{\infty}$の不定形になるのでロピタルの定理を適用する。

$n$回ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x\to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x\to \infty} \frac{nx^{n-1}}{e^x} = \lim_{x\to \infty} \frac{n(n-1)x^{n-2}}{e^x} = ... = \lim_{x\to \infty} \frac{n!}{e^x} = 0$

(8) $\lim_{x\to +0} x \log x$

$x=0$を代入すると、$0 \cdot (-\infty)$の不定形になるので、$x \log x = \frac{\log x}{1/x}$と変形し、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to +0} x \log x = \lim_{x\to +0} \frac{\log x}{1/x} = \lim_{x\to +0} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x\to +0} (-x) = 0$

(9) $\lim_{x\to \infty} x (\frac{\pi}{2} - \arctan x)$

$x \to \infty$で、$\arctan x \to \frac{\pi}{2}$となるため、$x (\frac{\pi}{2} - \arctan x)$は$\infty \cdot 0$の不定形である。$\frac{\pi}{2} - \arctan x = \arctan \frac{1}{x}$と変形できるので、

$\lim_{x\to \infty} x (\frac{\pi}{2} - \arctan x) = \lim_{x\to \infty} x \arctan \frac{1}{x} = \lim_{x\to \infty} \frac{\arctan \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$

$t = \frac{1}{x}$とすると、$x \to \infty$で $t \to 0$なので、

$\lim_{x\to \infty} \frac{\arctan \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} = \lim_{t\to 0} \frac{\arctan t}{t}$

これは$0/0$の不定形なので、ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{t\to 0} \frac{\arctan t}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{\frac{1}{1+t^2}}{1} = \frac{1}{1+0^2} = 1$

(10) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x}$

$\sin^{-1} x$は$\arcsin x$とも表記される。

$x=0$を代入すると、$0/0$ の不定形になるので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{1} = \frac{1}{\sqrt{1-0^2}} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{12}$

(2) $2$

(3) $2$

(4) $1$

(5) $1$

(6) $0$

(7) $0$

(8) $0$

(9) $1$

(10) $1$