関数 $f(x) = e^{-x^2}$ の極大値、極小値、変曲点を求め、グラフを描く。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{-x^2}$ の極大値、極小値、変曲点を求め、グラフを描く。

2. 解き方の手順

(1) 一階微分を計算する。

$f'(x) = -2xe^{-x^2}$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$-2xe^{-x^2} = 0$

$x = 0$

(3) 二階微分を計算する。

$f''(x) = -2e^{-x^2} + (-2x)(-2x)e^{-x^2} = (4x^2 - 2)e^{-x^2}$

(4) $f''(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$(4x^2 - 2)e^{-x^2} = 0$

$4x^2 - 2 = 0$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

(5) $x = 0$ の前後で $f'(x)$ の符号を調べる。

$x < 0$ のとき $f'(x) > 0$

$x > 0$ のとき $f'(x) < 0$

したがって、$x = 0$ で極大値をとる。

$f(0) = e^{-0^2} = 1$

(6) $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ の前後で $f''(x)$ の符号を調べる。

$x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき $f''(x) > 0$

$-\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき $f''(x) < 0$

$x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき $f''(x) > 0$

したがって、$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ で変曲点を持つ。

$f(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{-(\pm \frac{\sqrt{2}}{2})^2} = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

(7) グラフを描く。

関数は偶関数であり、$x \to \pm \infty$ で $f(x) \to 0$ に収束する。

3. 最終的な答え

極大値：$x = 0$ で $f(0) = 1$

極小値：なし

変曲点：$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ で $f(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{\sqrt{e}}$