## 問題の内容

## 問題の内容

与えられた10個の不定積分を計算する問題です。

(1) $\int 5x^2 dx$

(2) $\int (3x^2 - 4x + 1) dx$

(3) $\int \frac{3}{x^4} dx$

(4) $\int x\sqrt{x} dx$

(5) $\int \frac{(x-1)(x-2)}{x^2} dx$

(6) $\int (2\sin x + 3\cos x) dx$

(7) $\int (2e^x + e^{3x-1}) dx$

(8) $\int (2x-3)^5 dx$

(9) $\int \frac{1}{(5x+8)^3} dx$

(10) $\int \sqrt{2x+1} dx$

## 解き方の手順

各問題について、以下の手順で不定積分を計算します。積分定数は省略します。

(1) $\int 5x^2 dx$

- 定数倍の性質と、$x^n$ の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ を用いる。

- $\int 5x^2 dx = 5 \int x^2 dx = 5 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{5}{3}x^3$

(2) $\int (3x^2 - 4x + 1) dx$

- 積分を各項に分解し、各項を積分する。

- $\int (3x^2 - 4x + 1) dx = 3\int x^2 dx - 4\int x dx + \int 1 dx$

- $= 3\cdot \frac{x^3}{3} - 4\cdot \frac{x^2}{2} + x = x^3 - 2x^2 + x$

(3) $\int \frac{3}{x^4} dx$

- $x^{-n}$の形に変形してから積分する。

- $\int \frac{3}{x^4} dx = 3\int x^{-4} dx = 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} = -x^{-3} = -\frac{1}{x^3}$

(4) $\int x\sqrt{x} dx$

- $\sqrt{x} = x^{1/2}$ と変形し、$x^n$の形にする。

- $\int x\sqrt{x} dx = \int x \cdot x^{1/2} dx = \int x^{3/2} dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}x^{5/2}$

(5) $\int \frac{(x-1)(x-2)}{x^2} dx$

- 分子を展開し、分数を分解する。

- $\int \frac{(x-1)(x-2)}{x^2} dx = \int \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2} dx = \int (1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}) dx$

- $= \int 1 dx - 3\int \frac{1}{x} dx + 2\int x^{-2} dx = x - 3\ln|x| + 2\cdot \frac{x^{-1}}{-1} = x - 3\ln|x| - \frac{2}{x}$

(6) $\int (2\sin x + 3\cos x) dx$

- $\sin x$ と $\cos x$ の積分公式を用いる。

- $\int (2\sin x + 3\cos x) dx = 2\int \sin x dx + 3\int \cos x dx = 2(-\cos x) + 3\sin x = -2\cos x + 3\sin x$

(7) $\int (2e^x + e^{3x-1}) dx$

- $e^x$の積分と、置換積分を用いる。

- $\int (2e^x + e^{3x-1}) dx = 2\int e^x dx + \int e^{3x-1} dx$

- $= 2e^x + \frac{1}{3}e^{3x-1}$

(8) $\int (2x-3)^5 dx$

- $u = 2x-3$ と置換すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$

- $\int (2x-3)^5 dx = \int u^5 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^5 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^6}{6} = \frac{1}{12} u^6 = \frac{1}{12}(2x-3)^6$

(9) $\int \frac{1}{(5x+8)^3} dx$

- $u = 5x+8$ と置換すると、$du = 5dx$ より $dx = \frac{1}{5}du$

- $\int \frac{1}{(5x+8)^3} dx = \int \frac{1}{u^3} \cdot \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int u^{-3} du = \frac{1}{5} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{10}u^{-2} = -\frac{1}{10(5x+8)^2}$

(10) $\int \sqrt{2x+1} dx$

- $u = 2x+1$ と置換すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$

- $\int \sqrt{2x+1} dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{1/2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{1}{3}u^{3/2} = \frac{1}{3}(2x+1)^{3/2}$

## 最終的な答え

(1) $\frac{5}{3}x^3$

(2) $x^3 - 2x^2 + x$

(3) $-\frac{1}{x^3}$

(4) $\frac{2}{5}x^{5/2}$

(5) $x - 3\ln|x| - \frac{2}{x}$

(6) $-2\cos x + 3\sin x$

(7) $2e^x + \frac{1}{3}e^{3x-1}$

(8) $\frac{1}{12}(2x-3)^6$

(9) $-\frac{1}{10(5x+8)^2}$

(10) $\frac{1}{3}(2x+1)^{3/2}$