問題文は、集合$A$と集合$B$の補集合である$\overline{A}$と$\overline{B}$を用いて、$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$が成り立つことを前提としています。その上で、「同じようにして、$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立つことを確かめよ」というものです。つまり、集合$A$と集合$B$に対して、その共通部分$A \cap B$の補集合$\overline{A \cap B}$が、それぞれの補集合$\overline{A}$と$\overline{B}$の和集合$\overline{A} \cup \overline{B}$と等しくなることを証明するという問題です。

1. 問題の内容

問題文は、集合$A$と集合$B$の補集合である$\overline{A}$と$\overline{B}$を用いて、$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$が成り立つことを前提としています。その上で、「同じようにして、$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立つことを確かめよ」というものです。つまり、集合$A$と集合$B$に対して、その共通部分$A \cap B$の補集合$\overline{A \cap B}$が、それぞれの補集合$\overline{A}$と$\overline{B}$の和集合$\overline{A} \cup \overline{B}$と等しくなることを証明するという問題です。

2. 解き方の手順

まず、集合の包含関係を用いて証明します。

(1) $\overline{A \cap B} \subseteq \overline{A} \cup \overline{B}$ を示す。

$x \in \overline{A \cap B}$ と仮定すると、$x \notin A \cap B$ である。

これは、$x \notin A$ または $x \notin B$ を意味する。

もし $x \notin A$ なら、$x \in \overline{A}$ である。

もし $x \notin B$ なら、$x \in \overline{B}$ である。

したがって、$x \in \overline{A}$ または $x \in \overline{B}$ であり、$x \in \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立つ。

よって、$\overline{A \cap B} \subseteq \overline{A} \cup \overline{B}$ が示された。

(2) $\overline{A} \cup \overline{B} \subseteq \overline{A \cap B}$ を示す。

$x \in \overline{A} \cup \overline{B}$ と仮定すると、$x \in \overline{A}$ または $x \in \overline{B}$ である。

もし $x \in \overline{A}$ なら、$x \notin A$ である。

もし $x \in \overline{B}$ なら、$x \notin B$ である。

したがって、$x \notin A$ または $x \notin B$ であり、$x \notin A \cap B$ を意味する。

よって、$x \in \overline{A \cap B}$ が成り立つ。

したがって、$\overline{A} \cup \overline{B} \subseteq \overline{A \cap B}$ が示された。

(1)と(2)から、$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立つ。