与えられた式を評価します。式は次のとおりです。 $\cot(\sqrt{y} - \sqrt{\pi}) + \frac{y^3 (\sin(y) + e)}{(y^2 + f(y))^3} \Big|_{\pi}$

1. 問題の内容

与えられた式を評価します。式は次のとおりです。

$\cot(\sqrt{y} - \sqrt{\pi}) + \frac{y^3 (\sin(y) + e)}{(y^2 + f(y))^3} \Big|_{\pi}$

2. 解き方の手順

この式は、$y = \pi$ における評価を求められています。したがって、$y$ に $\pi$ を代入します。

$\cot(\sqrt{\pi} - \sqrt{\pi}) + \frac{\pi^3 (\sin(\pi) + e)}{(\pi^2 + f(\pi))^3}$

まず、$\cot(\sqrt{\pi} - \sqrt{\pi}) = \cot(0)$ を計算します。$\cot(0)$ は定義されていません。なぜなら、$\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ であり、$\sin(0) = 0$であるため、$\cot(0) = \frac{\cos(0)}{\sin(0)} = \frac{1}{0}$ となり、これは定義されていません。

次に、第二項を評価します。$\sin(\pi) = 0$ なので、

$\frac{\pi^3 (\sin(\pi) + e)}{(\pi^2 + f(\pi))^3} = \frac{\pi^3 (0 + e)}{(\pi^2 + f(\pi))^3} = \frac{e\pi^3}{(\pi^2 + f(\pi))^3}$

したがって、式全体は、

$\cot(0) + \frac{e\pi^3}{(\pi^2 + f(\pi))^3}$

$\cot(0)$ が定義されていないため、この式も定義されていません。

3. 最終的な答え

定義できません。$\cot(0)$ が未定義であるため、式全体も未定義です。

しかし、もし問題が$\lim_{y \to \pi} [\cot(\sqrt{y} - \sqrt{\pi}) + \frac{y^3 (\sin(y) + e)}{(y^2 + f(y))^3} ]$を計算するなら、ロピタルの定理などを使って解くことになります。しかし、今回の問題は単純に$y = \pi$で評価するだけなので、未定義となります。