次の等式を証明する問題です。 (1) $\sin^4\theta - \cos^4\theta = 1 - 2\cos^2\theta$ (2) $\tan^2\theta + (1 - \tan^4\theta)\cos^2\theta = 1$

1. 問題の内容

次の等式を証明する問題です。

(1) $\sin^4\theta - \cos^4\theta = 1 - 2\cos^2\theta$

(2) $\tan^2\theta + (1 - \tan^4\theta)\cos^2\theta = 1$

2. 解き方の手順

(1) 左辺を変形して右辺に等しくなることを示す。

$\sin^4\theta - \cos^4\theta$ は $(a^2 - b^2)$ の形なので、因数分解できる。

$\sin^4\theta - \cos^4\theta = (\sin^2\theta + \cos^2\theta)(\sin^2\theta - \cos^2\theta)$

ここで、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ なので、

$\sin^4\theta - \cos^4\theta = \sin^2\theta - \cos^2\theta$

さらに、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ なので、

$\sin^4\theta - \cos^4\theta = (1 - \cos^2\theta) - \cos^2\theta = 1 - 2\cos^2\theta$

したがって、$\sin^4\theta - \cos^4\theta = 1 - 2\cos^2\theta$ が証明された。

(2) 左辺を変形して右辺に等しくなることを示す。

$\tan^2\theta + (1 - \tan^4\theta)\cos^2\theta$

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ なので、

$\tan^2\theta + (1 - \tan^4\theta)\cos^2\theta = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + (1 - \frac{\sin^4\theta}{\cos^4\theta})\cos^2\theta$

$= \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \cos^2\theta - \frac{\sin^4\theta}{\cos^2\theta}$

$= \frac{\sin^2\theta - \sin^4\theta}{\cos^2\theta} + \cos^2\theta$

$= \frac{\sin^2\theta(1 - \sin^2\theta)}{\cos^2\theta} + \cos^2\theta$

ここで、$1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$ なので、

$\frac{\sin^2\theta(1 - \sin^2\theta)}{\cos^2\theta} + \cos^2\theta = \frac{\sin^2\theta\cos^2\theta}{\cos^2\theta} + \cos^2\theta$

$= \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

したがって、$\tan^2\theta + (1 - \tan^4\theta)\cos^2\theta = 1$ が証明された。

3. 最終的な答え

(1) $\sin^4\theta - \cos^4\theta = 1 - 2\cos^2\theta$

(証明終わり)

(2) $\tan^2\theta + (1 - \tan^4\theta)\cos^2\theta = 1$

(証明終わり)