全体集合 $U$ の要素数が $n(U)=40$ であり、その部分集合 $A$ と $B$ について、$n(A)=23$、$n(B)=15$、$n(A \cap B)=3$ が与えられています。このとき、$n(A \cup B)$ と $n(\overline{A})$ を求める問題です。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の要素数が $n(U)=40$ であり、その部分集合 $A$ と $B$ について、$n(A)=23$、$n(B)=15$、$n(A \cap B)=3$ が与えられています。このとき、$n(A \cup B)$ と $n(\overline{A})$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

* $n(A \cup B)$ の計算

和集合の要素数の公式を用います。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

与えられた値を代入すると、

$n(A \cup B) = 23 + 15 - 3 = 35$

* $n(\overline{A})$ の計算

$A$ の補集合 $\overline{A}$ の要素数は、全体集合 $U$ の要素数から $A$ の要素数を引くことで求められます。

$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$

与えられた値を代入すると、

$n(\overline{A}) = 40 - 23 = 17$

3. 最終的な答え

$n(A \cup B) = 35$

$n(\overline{A}) = 17$