全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、$n(U) = 40$, $n(A) = 23$, $n(B) = 15$, $n(A \cap B) = 3$ であるとき、以下の集合の要素の個数を求めます。 (1) $\overline{B}$ (2) $\overline{A \cup B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、$n(U) = 40$, $n(A) = 23$, $n(B) = 15$, $n(A \cap B) = 3$ であるとき、以下の集合の要素の個数を求めます。

(1) $\overline{B}$

(2) $\overline{A \cup B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{B}$ について、

$\overline{B}$ は $B$ の補集合であるため、$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$ で求めることができます。

与えられた値 $n(U) = 40$ と $n(B) = 15$ を代入します。

$n(\overline{B}) = 40 - 15$

$n(\overline{B}) = 25$

(2) $\overline{A \cup B}$ について、

$\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ の補集合であるため、$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$ で求めることができます。

$n(A \cup B)$ は、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ で求めることができます。

与えられた値 $n(A) = 23$, $n(B) = 15$, $n(A \cap B) = 3$ を代入します。

$n(A \cup B) = 23 + 15 - 3$

$n(A \cup B) = 35$

したがって、$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$ に $n(U) = 40$ と $n(A \cup B) = 35$ を代入します。

$n(\overline{A \cup B}) = 40 - 35$

$n(\overline{A \cup B}) = 5$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{B}) = 25$

(2) $n(\overline{A \cup B}) = 5$