関数 $y=ax^2$ のグラフが与えられています。 (1) $a$ の値と、点Aの $y$ 座標を求めます。 (2) $x$ の変域が $-3 \le x \le 1$ のときの $y$ の変域を求めます。 (3) 直線ABの式を求めます。 (4) $\triangle OAB$ の面積を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y=ax^2$ のグラフが与えられています。

(1) $a$ の値と、点Aの $y$ 座標を求めます。

(2) $x$ の変域が $-3 \le x \le 1$ のときの $y$ の変域を求めます。

(3) 直線ABの式を求めます。

(4) $\triangle OAB$ の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

点Bの座標は $(2, 8)$ なので、これを $y=ax^2$ に代入して $a$ の値を求めます。

$8 = a(2^2) = 4a$

$a = \frac{8}{4} = 2$

したがって、$y = 2x^2$ です。

点Aの $x$ 座標は $-4$ なので、$y = 2(-4)^2 = 2(16) = 32$

よって、点Aの $y$ 座標は32です。

(2)

$y=2x^2$において、$x$ の変域が $-3 \le x \le 1$ のとき、$y$ の最小値は $x=0$ のときで $y=0$ です。$x=-3$ のとき $y=2(-3)^2 = 2(9) = 18$ 、 $x=1$ のとき $y=2(1)^2 = 2$ です。したがって、$y$ の最大値は 18 です。

$y$ の変域は $0 \le y \le 18$ となります。

(3)

Aの座標は $(-4, 32)$ 、Bの座標は $(2, 8)$ です。

直線ABの傾きは $\frac{32-8}{-4-2} = \frac{24}{-6} = -4$ です。

直線ABの式を $y = -4x + b$ とおき、点B(2, 8)を通るので、

$8 = -4(2) + b$

$8 = -8 + b$

$b = 16$

したがって、直線ABの式は $y = -4x + 16$ です。

(4)

$\triangle OAB$ の面積を求めます。

直線ABの式 $y = -4x + 16$ より、直線ABと $y$ 軸との交点（切片）は $(0, 16)$ です。この点をCとします。

$\triangle OAB$ の面積は $\triangle OAC$ の面積と $\triangle OBC$ の面積の和で求められます。

$\triangle OAC$ の面積は $\frac{1}{2} \times 16 \times 4 = 32$

$\triangle OBC$ の面積は $\frac{1}{2} \times 16 \times 2 = 16$

$\triangle OAB$ の面積は $32 + 16 = 48$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$ 、点Aの $y$ 座標は 32

(2) $0 \le y \le 18$

(3) $y = -4x + 16$

(4) 48