与えられた3つの不等式を解きます。 (1) $(\frac{1}{2})^{2x+2} < (\frac{1}{16})^{x-1}$ (2) $2 \cdot 4^x - 17 \cdot 2^x + 8 < 0$ (3) $25^x - 3 \cdot 5^x - 10 \geq 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの不等式を解きます。

(1) $(\frac{1}{2})^{2x+2} < (\frac{1}{16})^{x-1}$

(2) $2 \cdot 4^x - 17 \cdot 2^x + 8 < 0$

(3) $25^x - 3 \cdot 5^x - 10 \geq 0$

2. 解き方の手順

(1) $(\frac{1}{2})^{2x+2} < (\frac{1}{16})^{x-1}$

$\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$ なので、与式は $(\frac{1}{2})^{2x+2} < ((\frac{1}{2})^4)^{x-1}$ と書き換えられます。

$(\frac{1}{2})^{2x+2} < (\frac{1}{2})^{4(x-1)}$

底 $\frac{1}{2}$ は 1 より小さいので、指数を比較する際に不等号の向きが反転します。

$2x+2 > 4(x-1)$

$2x+2 > 4x-4$

$2x < 6$

$x < 3$

(2) $2 \cdot 4^x - 17 \cdot 2^x + 8 < 0$

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ なので、$t = 2^x$ とおくと、与式は $2t^2 - 17t + 8 < 0$ となります。

因数分解すると、$(2t-1)(t-8) < 0$ となります。

したがって、$\frac{1}{2} < t < 8$ です。

$t = 2^x$ より、$\frac{1}{2} < 2^x < 8$ です。

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$ であり、$8 = 2^3$ なので、$2^{-1} < 2^x < 2^3$ となります。

底 2 は 1 より大きいので、指数を比較する際に不等号の向きは変わりません。

$-1 < x < 3$

(3) $25^x - 3 \cdot 5^x - 10 \geq 0$

$25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$ なので、$t = 5^x$ とおくと、与式は $t^2 - 3t - 10 \geq 0$ となります。

因数分解すると、$(t-5)(t+2) \geq 0$ となります。

したがって、$t \leq -2$ または $t \geq 5$ です。

$t = 5^x$ より、$5^x \leq -2$ または $5^x \geq 5$ です。

$5^x$ は常に正なので、$5^x \leq -2$ を満たす $x$ は存在しません。

$5^x \geq 5$ より、$5^x \geq 5^1$ です。

底 5 は 1 より大きいので、指数を比較する際に不等号の向きは変わりません。

$x \geq 1$

3. 最終的な答え

(1) $x < 3$

(2) $-1 < x < 3$

(3) $x \geq 1$