与えられた数列の初項から第n項までの和を求める問題です。数列は2つあり、それぞれについて和を求めます。 (1) $1^2, 3^2, 5^2, \dots$ (2) $1, 1+2, 1+2+2^2, \dots$

1. 問題の内容

与えられた数列の初項から第n項までの和を求める問題です。数列は2つあり、それぞれについて和を求めます。

(1) $1^2, 3^2, 5^2, \dots$

(2) $1, 1+2, 1+2+2^2, \dots$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた数列は奇数の二乗の数列です。第k項は$(2k-1)^2$と表せます。

初項から第n項までの和は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2$

$= \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1)$

$= 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 4 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

よって、

$S_n = 4 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3}$

$= \frac{n(2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3)}{3}$

$= \frac{n(2(2n^2 + 3n + 1) - 6n - 6 + 3)}{3}$

$= \frac{n(4n^2 + 6n + 2 - 6n - 3)}{3}$

$= \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$

$= \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

(2)

与えられた数列の第k項は、$1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{k-1}$と表せます。これは初項1、公比2の等比数列の和なので、

第k項 = $\frac{1(2^k - 1)}{2 - 1} = 2^k - 1$

初項から第n項までの和は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2^k - 1)$

$= \sum_{k=1}^{n} 2^k - \sum_{k=1}^{n} 1$

$= \frac{2(2^n - 1)}{2-1} - n$

$= 2(2^n - 1) - n$

$= 2^{n+1} - 2 - n$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

(2) $2^{n+1} - n - 2$