与えられた4つの関数の逆関数を求め、さらにそのグラフを描く問題です。 (1) $y = \frac{2x+1}{x}$ ($x>0$) (2) $y = 2x+3$ ($0 \le x \le 2$) (3) $y = x^2$ ($x \le 0$) (4) $y = \log_2 x + 1$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数の逆関数を求め、さらにそのグラフを描く問題です。

(1) $y = \frac{2x+1}{x}$ ($x>0$)

(2) $y = 2x+3$ ($0 \le x \le 2$)

(3) $y = x^2$ ($x \le 0$)

(4) $y = \log_2 x + 1$

2. 解き方の手順

各関数について逆関数を求める手順は以下の通りです。

(1) $y = \frac{2x+1}{x}$ ($x>0$)

まず、$x$ について解きます。

$y = \frac{2x+1}{x}$

$xy = 2x + 1$

$xy - 2x = 1$

$x(y-2) = 1$

$x = \frac{1}{y-2}$

$x$ と $y$ を入れ替えて、逆関数は

$y = \frac{1}{x-2}$

元の関数の定義域は $x>0$ なので、値域を求めます。

$x > 0$ のとき、$2x+1>0$より、$y=\frac{2x+1}{x} = 2+\frac{1}{x}>2$。

したがって、逆関数の定義域は $x>2$ です。

(2) $y = 2x+3$ ($0 \le x \le 2$)

$x$ について解きます。

$y = 2x + 3$

$2x = y - 3$

$x = \frac{y-3}{2}$

$x$ と $y$ を入れ替えて、逆関数は

$y = \frac{x-3}{2}$

元の関数の定義域は $0 \le x \le 2$ なので、値域を求めます。

$x = 0$ のとき、$y = 2(0) + 3 = 3$

$x = 2$ のとき、$y = 2(2) + 3 = 7$

したがって、元の関数の値域は $3 \le y \le 7$ であり、逆関数の定義域は $3 \le x \le 7$ です。

(3) $y = x^2$ ($x \le 0$)

$x$ について解きます。

$y = x^2$

$x = \pm \sqrt{y}$

$x \le 0$ なので、$x = -\sqrt{y}$

$x$ と $y$ を入れ替えて、逆関数は

$y = -\sqrt{x}$

元の関数の定義域は $x \le 0$ なので、値域を求めます。

$x \le 0$ のとき、$y = x^2 \ge 0$

したがって、逆関数の定義域は $x \ge 0$ です。

(4) $y = \log_2 x + 1$

$x$ について解きます。

$y = \log_2 x + 1$

$y - 1 = \log_2 x$

$x = 2^{y-1}$

$x$ と $y$ を入れ替えて、逆関数は

$y = 2^{x-1}$

元の関数の定義域は $x>0$ なので、値域を求めます。

$x>0$のとき、$\log_2 x$ は任意の実数をとるので、$y = \log_2 x + 1$ も任意の実数をとります。

したがって、逆関数の定義域は任意の実数です。

3. 最終的な答え

(1) 逆関数: $y = \frac{1}{x-2}$ ($x>2$)

(2) 逆関数: $y = \frac{x-3}{2}$ ($3 \le x \le 7$)

(3) 逆関数: $y = -\sqrt{x}$ ($x \ge 0$)

(4) 逆関数: $y = 2^{x-1}$ (定義域は任意の実数)