(1) $\frac{x+11}{2x^2+7x+3} - \frac{x-10}{2x^2-3x-2}$ を計算する。 (2) $\frac{4}{x^2+4} - \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2}$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) $\frac{x+11}{2x^2+7x+3} - \frac{x-10}{2x^2-3x-2}$ を計算する。

(2) $\frac{4}{x^2+4} - \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、分母を因数分解します。

$2x^2+7x+3 = (2x+1)(x+3)$

$2x^2-3x-2 = (2x+1)(x-2)$

通分すると、

$\frac{x+11}{(2x+1)(x+3)} - \frac{x-10}{(2x+1)(x-2)} = \frac{(x+11)(x-2) - (x-10)(x+3)}{(2x+1)(x+3)(x-2)}$

分子を展開して整理します。

$(x+11)(x-2) = x^2 + 9x - 22$

$(x-10)(x+3) = x^2 - 7x - 30$

$(x+11)(x-2) - (x-10)(x+3) = (x^2+9x-22) - (x^2-7x-30) = 16x+8$

したがって、

$\frac{16x+8}{(2x+1)(x+3)(x-2)} = \frac{8(2x+1)}{(2x+1)(x+3)(x-2)} = \frac{8}{(x+3)(x-2)} = \frac{8}{x^2+x-6}$

(2)

$\frac{4}{x^2+4} - \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} = \frac{4}{x^2+4} - \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} + \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} = \frac{4}{x^2+4} + \frac{-(x+2)+(x-2)}{x^2-4} = \frac{4}{x^2+4} + \frac{-4}{x^2-4} = \frac{4(x^2-4) - 4(x^2+4)}{(x^2+4)(x^2-4)} = \frac{4x^2-16 - 4x^2 - 16}{x^4-16} = \frac{-32}{x^4-16}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8}{x^2+x-6}$

(2) $\frac{-32}{x^4-16}$