2次関数 $y = 3x^2 - 4x + 5$ の最小値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 3x^2 - 4x + 5$ の最小値を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数の最小値を求めるために、平方完成を行います。

まず、$x^2$ の係数で $x^2$ と $x$ の項をくくります。

$y = 3(x^2 - \frac{4}{3}x) + 5$

次に、括弧の中を平方完成します。

$x^2 - \frac{4}{3}x = (x - \frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2 = (x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}$

これを元の式に代入します。

$y = 3((x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) + 5$

$y = 3(x - \frac{2}{3})^2 - 3 \cdot \frac{4}{9} + 5$

$y = 3(x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{3} + 5$

$y = 3(x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{3} + \frac{15}{3}$

$y = 3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{11}{3}$

この式は、頂点が $(\frac{2}{3}, \frac{11}{3})$ で、下に凸の放物線を表しています。したがって、最小値は $x = \frac{2}{3}$ のときにとる $y = \frac{11}{3}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{11}{3}$