## 6. 問題の内容

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6. 問題の内容

ある放物線を、$y$軸に関して対称移動し、さらに$x$軸方向に$-2$、$y$軸方向に$1$だけ平行移動したら、放物線 $y = x^2 + 6x + 10$ になった。もとの放物線の方程式を求めよ。

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7. 問題の内容

ある放物線を、$x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$-3$だけ平行移動し、さらに$x$軸に関して対称移動したら、放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ になった。もとの放物線の方程式を求めよ。

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6. 解き方の手順

1. 最終的な放物線 $y = x^2 + 6x + 10$ を、平行移動と対称移動の逆の操作を順に行う。

2. $x$軸方向に$-2$、$y$軸方向に$1$だけ平行移動した結果なので、逆の操作として、$x$軸方向に$+2$、$y$軸方向に$-1$だけ平行移動する。

この平行移動後の放物線の方程式は、

$y + 1 = (x - 2)^2 + 6(x - 2) + 10$

$y + 1 = x^2 - 4x + 4 + 6x - 12 + 10$

$y + 1 = x^2 + 2x + 2$

$y = x^2 + 2x + 1$

3. $y$軸に関して対称移動した結果なので、逆の操作として、$y$軸に関して対称移動する。$y$軸に関して対称移動するとき、$x$を$-x$に置き換える。

$y = (-x)^2 + 2(-x) + 1$

$y = x^2 - 2x + 1$

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6. 最終的な答え

$y = x^2 - 2x + 1$

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7. 解き方の手順

1. 最終的な放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ を、平行移動と対称移動の逆の操作を順に行う。

2. $x$軸に関して対称移動した結果なので、逆の操作として、$x$軸に関して対称移動する。$x$軸に関して対称移動するとき、$y$を$-y$に置き換える。

$-y = x^2 - 2x + 2$

$y = -x^2 + 2x - 2$

3. $x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$-3$だけ平行移動した結果なので、逆の操作として、$x$軸方向に$+1$、$y$軸方向に$+3$だけ平行移動する。

$y - 3 = -(x - 1)^2 + 2(x - 1) - 2$

$y - 3 = -(x^2 - 2x + 1) + 2x - 2 - 2$

$y - 3 = -x^2 + 2x - 1 + 2x - 4$

$y - 3 = -x^2 + 4x - 5$

$y = -x^2 + 4x - 2$

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7. 最終的な答え

$y = -x^2 + 4x - 2$