ある放物線を$x$軸方向に$-1$, $y$軸方向に$-3$だけ平行移動し、さらに$x$軸に関して対称移動したところ、放物線$y=x^2-2x+2$に移った。もとの放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

ある放物線を$x$軸方向に$-1$, $y$軸方向に$-3$だけ平行移動し、さらに$x$軸に関して対称移動したところ、放物線$y=x^2-2x+2$に移った。もとの放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線$y=x^2-2x+2$を$x$軸に関して対称移動する。$x$軸対称移動は、$y$を$-y$に置き換えることで得られるので、

$-y=x^2-2x+2$

$y=-x^2+2x-2$

次に、$y=-x^2+2x-2$を$x$軸方向に$1$, $y$軸方向に$3$だけ平行移動する。平行移動は$x$を$x-1$, $y$を$y-3$に置き換えることで得られるので、

$y-3=-(x-1)^2+2(x-1)-2$

$y-3=-(x^2-2x+1)+2x-2-2$

$y-3=-x^2+2x-1+2x-4$

$y=-x^2+4x-5+3$

$y=-x^2+4x-2$

3. 最終的な答え

$y=-x^2+4x-2$