与えられた2次関数のグラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さを求める問題です。具体的には、 (1) $y = 4x^2 - 7x - 11$ (2) $y = -4x^2 + 4ax - a^2 + 9$ (ただし、$a$ は定数) の2つの関数について、それぞれ $x$ 軸から切り取る線分の長さを求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数のグラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さを求める問題です。具体的には、

(1) $y = 4x^2 - 7x - 11$

(2) $y = -4x^2 + 4ax - a^2 + 9$ (ただし、$a$ は定数)

の2つの関数について、それぞれ $x$ 軸から切り取る線分の長さを求めます。

2. 解き方の手順

$x$ 軸から切り取る線分の長さは、2次関数と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を求め、その差の絶対値を取ることで求められます。$x$ 軸との交点は、$y = 0$ となる $x$ の値を求めることで得られます。

(1) $y = 4x^2 - 7x - 11$ の場合

$y = 0$ とおくと、$4x^2 - 7x - 11 = 0$ となります。

この2次方程式を解くために、解の公式を利用します。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(4)(-11)}}{2(4)} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 176}}{8} = \frac{7 \pm \sqrt{225}}{8} = \frac{7 \pm 15}{8}$

$x_1 = \frac{7 + 15}{8} = \frac{22}{8} = \frac{11}{4}$

$x_2 = \frac{7 - 15}{8} = \frac{-8}{8} = -1$

したがって、$x$ 軸から切り取る線分の長さは $|x_1 - x_2| = |\frac{11}{4} - (-1)| = |\frac{11}{4} + \frac{4}{4}| = \frac{15}{4}$

(2) $y = -4x^2 + 4ax - a^2 + 9$ の場合

$y = 0$ とおくと、$-4x^2 + 4ax - a^2 + 9 = 0$ となります。

両辺に-1を掛けて、$4x^2 - 4ax + a^2 - 9 = 0$

$(2x)^2 - 2(2x)a + a^2 - 9 = 0$

$(2x - a)^2 - 9 = 0$

$(2x - a)^2 = 9$

$2x - a = \pm 3$

$2x = a \pm 3$

$x = \frac{a \pm 3}{2}$

$x_1 = \frac{a + 3}{2}$

$x_2 = \frac{a - 3}{2}$

したがって、$x$ 軸から切り取る線分の長さは $|x_1 - x_2| = |\frac{a + 3}{2} - \frac{a - 3}{2}| = |\frac{a + 3 - a + 3}{2}| = |\frac{6}{2}| = 3$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{15}{4}$

(2) $3$